Calcule \iint_{T}(2 x+3 y)^{2} d A, se T é a região triangular com vértices (-1,0),(0,1),(1,0).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{T}(2x+3y)^{2}\,dA,
onde T é o triângulo com vértices (-1,0),(0,1),(1,0).
Informações dadas (lista clara):
  • Integrando: (2x+3y)^{2}.
  • Região T: triângulo com vértices (-1,0), (0,1), (1,0).
  • Objetivo: encontrar o valor numérico de \iint_{T}(2x+3y)^{2}\,dA.

Passo 2

Descrevemos geometricamente a região T. As arestas do triângulo são:
  • Base entre (-1,0) e (1,0): a reta \;y=0.
  • Lado esquerdo entre (-1,0) e (0,1): reta de coeficiente angular 1. A equação que passa por (-1,0) e (0,1) é
y = x + 1.
  • Lado direito entre (0,1) e (1,0): reta de coeficiente angular -1. A equação é
y = -x + 1.
Portanto, para um dado x entre -1 e 1, a altura y varia entre 0 e 1-|x|. Uma descrição útil do domínio é
T=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\\\ 0\le y\le 1-|x|\}.

Passo 3

Escolhemos uma estratégia prática: aproveitar a simetria do triângulo em relação ao eixo y (simétrico em x) para simplificar os cálculos. Observação útil: para cada x em [0,1] existe um ponto simétrico -x com a mesma altura máxima 1-x. Assim, muitas integrais de funções ímpares em x sobre T se anulam.
Também vamos expandir o integrando para ver termos que se simplificam pela simetria:
(2x+3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2.

Passo 4

Analisando o termo misto 12xy: como T é simétrico em x e a função y (limite superior) é a mesma para x e para -x, o integrando xy é uma função ímpar em x (muda de sinal se x\mapsto -x), portanto a contribuição de 12xy integrada sobre a região inteira T é zero. Em linguagem mais direta:
  • Para cada ponto (x,y) em T existe (-x,y) em T.
  • x y em (x,y) e em (-x,y) tem sinais opostos, logo se cancelam na integral dupla.
    Portanto podemos desprezar o termo misto e ficar com
\iint_T (2x+3y)^2\,dA = \iint_T \big(4x^2 + 9y^2\big)\,dA.

Passo 5

Usamos a simetria em x para integrar apenas a parte com x\ge0 e multiplicar por 2. Assim:
\iint_T \big(4x^2 + 9y^2\big)\,dA = 2\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\big(4x^2+9y^2\big)\,dy\,dx.
Expliquei: o fator 2 vem de somar a contribuição de x\in[0,1] e de x\in[-1,0], iguais pela simetria.

Passo 6

Calculamos a integral interna em y. Para x fixo,
\int_{y=0}^{1-x}\big(4x^2+9y^2\big)\,dy = \int_{0}^{1-x}4x^2\,dy \;+\; \int_{0}^{1-x}9y^2\,dy.
Compute cada parte separadamente:
  • \displaystyle \int_{0}^{1-x}4x^2\,dy = 4x^2\cdot(1-x) (porque 4x^2 é constante em y).
  • \displaystyle \int_{0}^{1-x}9y^2\,dy = 9\cdot\frac{(1-x)^3}{3} = 3(1-x)^3.
    Somando:
\int_{0}^{1-x}\big(4x^2+9y^2\big)\,dy = 4x^2(1-x) + 3(1-x)^3.

Passo 7

Agora integramos em x e multiplicamos por 2:
\iint_T (2x+3y)^2\,dA = 2\int_{0}^{1}\Big[4x^2(1-x) + 3(1-x)^3\Big]\,dx.
Expandimos o integrando para integrar termo a termo. Primeiro expandindo 3(1-x)^3:
(1-x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3,
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3(1-x)^3 = 3 - 9x + 9x^2 - 3x^3.
Somando com 4x^2(1-x)=4x^2 -4x^3 obtemos
4x^2(1-x) + 3(1-x)^3 = 3 - 9x + (4x^2+9x^2) + (-4x^3-3x^3).
Agrupando os coeficientes:
4x^2(1-x) + 3(1-x)^3 = 3 - 9x + 13x^2 -7x^3.

Passo 8

Integramos termo a termo no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1}\big(3 - 9x + 13x^2 -7x^3\big)\,dx = \Big[3x - \tfrac{9}{2}x^2 + \tfrac{13}{3}x^3 - \tfrac{7}{4}x^4\Big]_{0}^{1}.
Avaliação em 1 (subtraindo valor em 0 que é zero) dá
3 - \tfrac{9}{2} + \tfrac{13}{3} - \tfrac{7}{4}.
Colocando sobre denominador comum 12:
3 = \tfrac{36}{12},\quad \tfrac{9}{2}=\tfrac{54}{12},\quad \tfrac{13}{3}=\tfrac{52}{12},\quad \tfrac{7}{4}=\tfrac{21}{12}.
Somando/ subtraindo:
\tfrac{36}{12} - \tfrac{54}{12} + \tfrac{52}{12} - \tfrac{21}{12} = \tfrac{13}{12}.
Lembrando do fator 2 fora da integral, o resultado total é
2\cdot \tfrac{13}{12} = \tfrac{26}{12} = \tfrac{13}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{6}

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