Calcule
, se
é a região triangular com vértices
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é o triângulo com vértices
.
Informações dadas (lista clara):
- Integrando:
. - Região
: triângulo com vértices , , . - Objetivo: encontrar o valor numérico de
.
Passo 2
Descrevemos geometricamente a região
. As arestas do triângulo são:
- Base entre
e : a reta . - Lado esquerdo entre
e : reta de coeficiente angular . A equação que passa por e é
- Lado direito entre
e : reta de coeficiente angular . A equação é
Portanto, para um dado
entre
e
, a altura
varia entre
e
. Uma descrição útil do domínio é
Passo 3
Escolhemos uma estratégia prática: aproveitar a simetria do triângulo em relação ao eixo
(simétrico em
) para simplificar os cálculos. Observação útil: para cada
em
existe um ponto simétrico
com a mesma altura máxima
. Assim, muitas integrais de funções ímpares em
sobre
se anulam.
Também vamos expandir o integrando para ver termos que se simplificam pela simetria:
Passo 4
Analisando o termo misto
: como
é simétrico em
e a função
(limite superior) é a mesma para
e para
, o integrando
é uma função ímpar em
(muda de sinal se
), portanto a contribuição de
integrada sobre a região inteira
é zero. Em linguagem mais direta:
- Para cada ponto
em existe em . -
em e em tem sinais opostos, logo se cancelam na integral dupla.
Portanto podemos desprezar o termo misto e ficar com
Passo 5
Usamos a simetria em
para integrar apenas a parte com
e multiplicar por
. Assim:
Expliquei: o fator
vem de somar a contribuição de
e de
, iguais pela simetria.
Passo 6
Calculamos a integral interna em
. Para
fixo,
Compute cada parte separadamente:
-
(porque é constante em ). -
.
Somando:
Passo 7
Agora integramos em
e multiplicamos por
:
Expandimos o integrando para integrar termo a termo. Primeiro expandindo
:
logo
Somando com
obtemos
Agrupando os coeficientes:
Passo 8
Integramos termo a termo no intervalo
:
Avaliação em
(subtraindo valor em
que é zero) dá
Colocando sobre denominador comum
:
Somando/ subtraindo:
Lembrando do fator
fora da integral, o resultado total é