Calcule
\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, onde \vec{F}(x, y, z)=\left(x, y, 2 x^{2}\right) e S é a superfície z=x^{2}+y^{2}, 1 \leq z \leq 4, com vetor normal apontando para longe do eixo z.

Passo 1

O que o problema pede e o que está dado:
  • Pede calcular o fluxo \iint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS, ou seja, a integral de superfície do campo sobre S.
  • O campo é \vec{F}(x,y,z)=\bigl(x,y,2x^{2}\bigr).
  • A superfície S é a porção do paraboloide z=x^{2}+y^{2} com 1\le z\le 4.
  • O vetor normal deve apontar para longe do eixo z (isto é, radialmente para fora, em direção ao aumento de \sqrt{x^{2}+y^{2}}).
  • Objetivo final: calcular um número, o valor do fluxo.

Passo 2

Escolha do método:
  • A superfície é dada explicitamente por z=x^{2}+y^{2} e é natural usar coordenadas cilíndricas/uma parametrização por r e \theta.
  • Parametrização facilita cálculo do elemento de área e do vetor normal.
  • Então vamos parametrizar S usando r e \theta, com r variando entre os raios correspondentes a z=1 e z=4.

Passo 3

Parametrização da superfície:
  • Em coordenadas cilíndricas temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, e z=r^{2} já que z=x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • Como 1\le z\le 4, obtemos 1\le r^{2}\le 4 então 1\le r\le 2.
  • O parâmetro \theta varia em [0,2\pi].
  • Definimos a parametrização
\vec{X}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\bigr),\qquad 1\le r\le 2,\;0\le\theta\le 2\pi.

Passo 4

Derivadas parciais da parametrização:
  • Calculemos \vec{X}_{r} e \vec{X}_{\theta}:
\vec{X}_{r}(r,\theta)=\bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;2r\bigr),
\vec{X}_{\theta}(r,\theta)=\bigl(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0\bigr).
  • Essas são vetores tangentes à superfície nos sentidos dos parâmetros r e \theta.

Passo 5

Cálculo do vetor normal (orientação):
  • O vetor normal orientado pela regra da mão direita é \vec{X}_{r}\times\vec{X}_{\theta}. Calculamos o produto vetorial:
\vec{X}_{r}\times\vec{X}_{\theta} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[2pt] \cos\theta & \sin\theta & 2r\\[2pt] -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = \bigl(-2r^{2}\cos\theta,\; -2r^{2}\sin\theta,\; r\bigr).
  • Observação sobre orientação: o componente radial (as duas primeiras coordenadas) é -2r^{2}(\cos\theta,\sin\theta), que aponta na direção oposta ao vetor radial (\cos\theta,\sin\theta,0). Ou seja, \vec{X}_{r}\times\vec{X}_{\theta} aponta para dentro (em direção ao eixo z).
  • Como o enunciado pede normal apontando para longe do eixo z (para fora, radialmente), devemos usar o negativo desse vetor para obter a orientação correta.
  • Portanto o vetor área orientado que usaremos é
\vec{n}\,dS = -\bigl(\vec{X}_{r}\times\vec{X}_{\theta}\bigr)\,dr\,d\theta = \bigl(2r^{2}\cos\theta,\;2r^{2}\sin\theta,\;-r\bigr)\,dr\,d\theta.
  • Explicação curta: \vec{n}\,dS é o vetor que já incorpora a magnitude da área e a orientação correta; é a forma conveniente para usar na integral de fluxo.]

Passo 6

Expressar \vec{F} na parametrização e calcular o produto escalar:
  • Em \vec{X}(r,\theta) temos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, então
\vec{F}\bigl(\vec{X}(r,\theta)\bigr)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;2(r\cos\theta)^{2}\bigr) =\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;2r^{2}\cos^{2}\theta\bigr).
  • Agora o produto escalar com \vec{n}\,dS:
\vec{F}\cdot(\vec{n}\,dS) = \bigl(r\cos\theta\bigr)\bigl(2r^{2}\cos\theta\bigr) +\bigl(r\sin\theta\bigr)\bigl(2r^{2}\sin\theta\bigr) +\bigl(2r^{2}\cos^{2}\theta\bigr)\bigl(-r\bigr)\,dr\,d\theta.
  • Simplificando termo a termo:
=2r^{3}\cos^{2}\theta+2r^{3}\sin^{2}\theta-2r^{3}\cos^{2}\theta \,dr\,d\theta.
  • Note que os termos com \cos^{2}\theta se cancelam parcialmente, sobrando
\vec{F}\cdot(\vec{n}\,dS)=2r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 7

Cálculo da integral dupla:
  • A integral do fluxo é
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{2} 2r^{3}\sin^{2}\theta \,dr\,d\theta.
  • Podemos separar as integrais porque a função é produto de função de r por função de \theta:
\left(\int_{r=1}^{2}2r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\right).
  • Calcule a integral em r:
\int_{1}^{2}2r^{3}\,dr =2\cdot\frac{r^{4}}{4}\Big|_{1}^{2} =\frac{r^{4}}{2}\Big|_{1}^{2} =\frac{16-1}{2} =\frac{15}{2}.
  • Calcule a integral em \theta. Use a identidade \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}. Assim
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\Bigl[ \theta - \frac{\sin(2\theta)}{2}\Bigr]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{2}\cdot 2\pi =\pi.
  • Multiplicando os resultados:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\frac{15}{2}\cdot \pi =\frac{15\pi}{2}.

Passo 8

Verificação rápida de consistência (sanity check) e incentivo:
  • Fazemos uma checagem simples: a integral é positiva; a contribuição dominante veio da componente radial do campo multiplicada pelo componente radial do vetor área, e a dependência angular produziu \sin^{2}\theta cujo valor médio é 1/2 — tudo consistente.
  • Mandou bem por aguentar a leitura até aqui; você já domina parametrização e produto vetorial aplicado a fluxos. Dá pra revisar com um exemplo menor se quiser.

Resposta

\displaystyle \frac{15\pi}{2}

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