Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, onde \vec{F}(x, y, z)=\left(x, y, 2 x^{2}\right) e S é a superfície z=x^{2}+y^{2}, 1 \leq z \leq 4, com vetor normal apontando para longe do eixo z.
Passo 1
O que o problema pede e o que está dado:
Pede calcular o fluxo \iint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS, ou seja, a integral de superfície do campo sobre S.
O campo é \vec{F}(x,y,z)=\bigl(x,y,2x^{2}\bigr).
A superfície S é a porção do paraboloide z=x^{2}+y^{2} com 1\le z\le 4.
O vetor normal deve apontar para longe do eixo z (isto é, radialmente para fora, em direção ao aumento de \sqrt{x^{2}+y^{2}}).
Objetivo final: calcular um número, o valor do fluxo.
Passo 2
Escolha do método:
A superfície é dada explicitamente por z=x^{2}+y^{2} e é natural usar coordenadas cilíndricas/uma parametrização por r e \theta.
Parametrização facilita cálculo do elemento de área e do vetor normal.
Então vamos parametrizar S usando r e \theta, com r variando entre os raios correspondentes a z=1 e z=4.
Passo 3
Parametrização da superfície:
Em coordenadas cilíndricas temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, e z=r^{2} já que z=x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Como 1\le z\le 4, obtemos 1\le r^{2}\le 4 então 1\le r\le 2.
Observação sobre orientação: o componente radial (as duas primeiras coordenadas) é -2r^{2}(\cos\theta,\sin\theta), que aponta na direção oposta ao vetor radial (\cos\theta,\sin\theta,0). Ou seja, \vec{X}_{r}\times\vec{X}_{\theta} aponta para dentro (em direção ao eixo z).
Como o enunciado pede normal apontando para longe do eixo z (para fora, radialmente), devemos usar o negativo desse vetor para obter a orientação correta.
Explicação curta: \vec{n}\,dS é o vetor que já incorpora a magnitude da área e a orientação correta; é a forma conveniente para usar na integral de fluxo.]
Passo 6
Expressar \vec{F} na parametrização e calcular o produto escalar:
Em \vec{X}(r,\theta) temos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, então
Verificação rápida de consistência (sanity check) e incentivo:
Fazemos uma checagem simples: a integral é positiva; a contribuição dominante veio da componente radial do campo multiplicada pelo componente radial do vetor área, e a dependência angular produziu \sin^{2}\theta cujo valor médio é 1/2 — tudo consistente.
Mandou bem por aguentar a leitura até aqui; você já domina parametrização e produto vetorial aplicado a fluxos. Dá pra revisar com um exemplo menor se quiser.