Calcule \iint_{R} f(x, y) d A, sendo f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}1-x-y & \text { se } & x+y \leq 1 \\\\ 0 & \text { se } & x+y>1\end{array} \quad ; \quad R=[0,1] \times[0,1] ;\right.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral dupla da função f(x,y)\) sobre o quadrado \(R=[0,1]\times[0,1]\). As informações dadas são:
- A função é
\[f(x,y)=\begin{cases} 1-x-y, & \text{se } x+y\leq 1,\\[4pt] 0, & \text{se } x+y>1. \end{cases}
O domínio de integração é (R=[0,1]\times[0,1]].
As perguntas implícitas são: qual é o valor de \displaystyle \iint_{R} f(x,y)\,dA?
Temos que listar também a informação geométrica importante: dentro do quadrado R, a condição x+y\leq 1 descreve o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1); fora desse triângulo (mas ainda no quadrado) a função vale 0. A partir daqui começamos a resolver.]
Passo 2
Vamos transformar a integral dupla sobre R na integral sobre a parte onde f é não-nula, ou seja, sobre o triângulo
T=\{(x,y)\in[0,1]\times[0,1]\mid x+y\leq 1\}.
Justificativa prática: integrar zero fora de T não contribui ao valor total, então
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \iint_{T} (1-x-y)\,dA.
Agora vou explicar como montar a integral iterada. Uma maneira simples é fixar x entre 0 e 1. Para cada x fixo, y varia desde y=0 até a reta y=1-x (porque x+y\leq1 implica y\leq1-x). Logo os limites são
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1-x.
Passo 3
Aplicando o teorema de Fubini (que permite calcular uma integral dupla como uma integral iterada quando a função é integrável), escrevemos a integral como iterada:
Breve explicação do que estamos fazendo: a integral interna \int_{0}^{1-x} (1-x-y)\,dy calcula a contribuição ao longo de uma vertical em x fixo; depois integramos essas contribuições em x de 0 a 1.
Passo 4
Calculamos a integral interna passo a passo. Considere a função em y,
g(y) = 1-x-y
com x tratado como constante na integração em y. A primitiva de g em relação a y é
Interpretação final rápida (para te deixar confiante): o valor \dfrac{1}{6} é a “massa” do triângulo T com densidade 1-x-y. A média do valor 1-x-y no triângulo e a área do triângulo (que é \tfrac{1}{2}) combinam para dar esse resultado; mas o cálculo acima é totalmente direto e suficiente.