Calcule \iint_{R} f(x, y) d A, sendo
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}1-x-y & \text { se } & x+y \leq 1 \\\\ 0 & \text { se } & x+y>1\end{array} \quad ; \quad R=[0,1] \times[0,1] ;\right.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral dupla da função f(x,y)\) sobre o quadrado \(R=[0,1]\times[0,1]\). As informações dadas são: - A função é \[f(x,y)=\begin{cases} 1-x-y, & \text{se } x+y\leq 1,\\[4pt] 0, & \text{se } x+y>1. \end{cases}
  • O domínio de integração é (R=[0,1]\times[0,1]].
As perguntas implícitas são: qual é o valor de \displaystyle \iint_{R} f(x,y)\,dA?
Temos que listar também a informação geométrica importante: dentro do quadrado R, a condição x+y\leq 1 descreve o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1); fora desse triângulo (mas ainda no quadrado) a função vale 0. A partir daqui começamos a resolver.]

Passo 2

Vamos transformar a integral dupla sobre R na integral sobre a parte onde f é não-nula, ou seja, sobre o triângulo
T=\{(x,y)\in[0,1]\times[0,1]\mid x+y\leq 1\}.
Justificativa prática: integrar zero fora de T não contribui ao valor total, então
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \iint_{T} (1-x-y)\,dA.
Agora vou explicar como montar a integral iterada. Uma maneira simples é fixar x entre 0 e 1. Para cada x fixo, y varia desde y=0 até a reta y=1-x (porque x+y\leq1 implica y\leq1-x). Logo os limites são
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1-x.

Passo 3

Aplicando o teorema de Fubini (que permite calcular uma integral dupla como uma integral iterada quando a função é integrável), escrevemos a integral como iterada:
\iint_{T} (1-x-y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{\,1-x} (1-x-y)\,dy\right)dx.
Breve explicação do que estamos fazendo: a integral interna \int_{0}^{1-x} (1-x-y)\,dy calcula a contribuição ao longo de uma vertical em x fixo; depois integramos essas contribuições em x de 0 a 1.

Passo 4

Calculamos a integral interna passo a passo. Considere a função em y,
g(y) = 1-x-y
com x tratado como constante na integração em y. A primitiva de g em relação a y é
\int (1-x-y)\,dy = (1-x)y - \frac{y^{2}}{2} + C.
Agora avaliamos entre y=0 e y=1-x:
\int_{0}^{1-x} (1-x-y)\,dy = \left[(1-x)y - \frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1-x}.
Substituindo y=1-x e y=0:
\left[(1-x)(1-x) - \frac{(1-x)^{2}}{2}\right] - \left[0\right] = (1-x)^{2} - \frac{(1-x)^{2}}{2} = \frac{(1-x)^{2}}{2}.
Portanto a integral interna resulta em \dfrac{(1-x)^{2}}{2}.

Passo 5

Agora integramos em x:
\iint_{T} (1-x-y)\,dA = \int_{0}^{1} \frac{(1-x)^{2}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1-x)^{2}\,dx.
Explico a técnica: expandimos o quadrado para integrar termo a termo. Temos
(1-x)^{2} = 1 - 2x + x^{2}.
Logo
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1 - 2x + x^{2})\,dx = \frac{1}{2}\left[\int_{0}^{1}1\,dx - 2\int_{0}^{1}x\,dx + \int_{0}^{1}x^{2}\,dx\right].
Agora calculamos cada integral básica (estas primitivadas são fórmulas padrão que você deve lembrar):
\int_{0}^{1}1\,dx = 1,
\int_{0}^{1}x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2},
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Substituindo:
\frac{1}{2}\left[1 - 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right] = \frac{1}{2}\left[1 - 1 + \frac{1}{3}\right] = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Passo 6

Interpretação final rápida (para te deixar confiante): o valor \dfrac{1}{6} é a “massa” do triângulo T com densidade 1-x-y. A média do valor 1-x-y no triângulo e a área do triângulo (que é \tfrac{1}{2}) combinam para dar esse resultado; mas o cálculo acima é totalmente direto e suficiente.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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