Informando sempre a técnica utilizada, resolva as integrais ( 2,0 pontos cada item).
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações importantes: a expressão sob a raiz é
, logo o domínio natural onde a raiz é real é
. Como é integral indefinida, devemos encontrar uma primitiva válida para
em
(podemos trabalhar assumindo
para evitar complicações de sinal na raiz).
Passo 2
Técnica utilizada: substituição trigonométrica. Motivação curta (sem detalhes técnicos ainda): quando aparece
é clássico usar a substituição
, porque ela transforma a raiz em algo com
e simplifica a integral. Aqui vamos usar
.
Passo 3
Fazer a substituição e calcular
e a raiz.
Escolhemos
Então
A raiz vira
Como queremos uma relação contínua para
escolhemos o ramo onde
(isto é,
), então
. Assim
Passo 4
Substituir na integral original. Primeiro escrevemos
e
em função de
:
Substituindo tudo:
Corta-se
numerador e denominador, ficando
Passo 5
Agora precisamos integrar
. Para isso usamos a identidade da função seno ao quadrado:
Explicando essa identidade: é uma identidade trigonométrica padrão derivada da fórmula de duplicação do cosseno; ela transforma um quadrado de seno em termos de cosseno de ângulo duplo, que é mais fácil de integrar.
Aplicando:
Passo 6
Integrar termo a termo:
Sabendo que
, obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltar para a variável
. Temos
, então
(no ramo
). Para
usamos a identidade
. Sabemos
. Logo
Passo 8
Substituir
e
na primitiva obtida em
:
Simplificando o segundo termo:
Portanto a primitiva, em termos de
, é