Informando sempre a técnica utilizada, resolva as integrais ( 2,0 pontos cada item).
\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{9-x^{2}}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt{9-x^{2}}}.
Informações dadas e observações importantes: a expressão sob a raiz é 9-x^{2}, logo o domínio natural onde a raiz é real é -3\le x\le 3. Como é integral indefinida, devemos encontrar uma primitiva válida para x em (-3,3) (podemos trabalhar assumindo |x|<3 para evitar complicações de sinal na raiz).

Passo 2

Técnica utilizada: substituição trigonométrica. Motivação curta (sem detalhes técnicos ainda): quando aparece \sqrt{a^{2}-x^{2}} é clássico usar a substituição x=a\sin\theta, porque ela transforma a raiz em algo com \cos\theta e simplifica a integral. Aqui vamos usar x=3\sin\theta.

Passo 3

Fazer a substituição e calcular dx e a raiz.
Escolhemos
x = 3\sin\theta.
Então
dx = 3\cos\theta\,d\theta.
A raiz vira
\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{9-9\sin^{2}\theta}=\sqrt{9(1-\sin^{2}\theta)}=3\sqrt{\cos^{2}\theta}.
Como queremos uma relação contínua para |x|<3 escolhemos o ramo onde \cos\theta\ge0 (isto é, \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big]), então \sqrt{\cos^{2}\theta}=\cos\theta. Assim
\sqrt{9-x^{2}}=3\cos\theta.

Passo 4

Substituir na integral original. Primeiro escrevemos x^{2} e dx em função de \theta:
x^{2}=9\sin^{2}\theta,\qquad dx=3\cos\theta\,d\theta.
Substituindo tudo:
\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt{9-x^{2}}} = \int \frac{9\sin^{2}\theta \cdot 3\cos\theta\,d\theta}{3\cos\theta}.
Corta-se 3\cos\theta numerador e denominador, ficando
\int 9\sin^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Agora precisamos integrar \int 9\sin^{2}\theta\,d\theta. Para isso usamos a identidade da função seno ao quadrado:
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Explicando essa identidade: é uma identidade trigonométrica padrão derivada da fórmula de duplicação do cosseno; ela transforma um quadrado de seno em termos de cosseno de ângulo duplo, que é mais fácil de integrar.
Aplicando:
9\sin^{2}\theta = 9\cdot\frac{1-\cos(2\theta)}{2} = \frac{9}{2} - \frac{9}{2}\cos(2\theta).

Passo 6

Integrar termo a termo:
\int 9\sin^{2}\theta\,d\theta = \int\left(\frac{9}{2} - \frac{9}{2}\cos(2\theta)\right)d\theta = \frac{9}{2}\theta - \frac{9}{2}\cdot\int \cos(2\theta)\,d\theta.
Sabendo que \int \cos(2\theta)\,d\theta = \frac{\sin(2\theta)}{2}, obtemos
\int 9\sin^{2}\theta\,d\theta = \frac{9}{2}\theta - \frac{9}{2}\cdot\frac{\sin(2\theta)}{2} + C = \frac{9}{2}\theta - \frac{9}{4}\sin(2\theta) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltar para a variável x. Temos x=3\sin\theta, então
\sin\theta=\frac{x}{3}\qquad\text{e}\qquad \theta=\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right)
(no ramo \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]). Para \sin(2\theta) usamos a identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Sabemos \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{1-(x/3)^{2}}=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}. Logo
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta =2\cdot\frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3} =\frac{2x\sqrt{9-x^{2}}}{9}.

Passo 8

Substituir \theta e \sin(2\theta) na primitiva obtida em \theta:
\frac{9}{2}\theta - \frac{9}{4}\sin(2\theta) + C = \frac{9}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right) - \frac{9}{4}\cdot\frac{2x\sqrt{9-x^{2}}}{9} + C.
Simplificando o segundo termo:
- \frac{9}{4}\cdot\frac{2x\sqrt{9-x^{2}}}{9} = -\frac{2x\sqrt{9-x^{2}}}{4} = -\frac{x\sqrt{9-x^{2}}}{2}.
Portanto a primitiva, em termos de x, é
\frac{9}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right) - \frac{x\sqrt{9-x^{2}}}{2} + C.

Resposta

\frac{9}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right)-\frac{x\sqrt{9-x^{2}}}{2}+C

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