Informando sempre a técnica utilizada, resolva as integrais ( 2,0 pontos cada item).
\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos x d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. Mais precisamente, precisamos encontrar
\int\left(x^{2}+2x\right)\cos x\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\\ (x^{2}+2x) é um polinômio de grau 2 e \cos x é uma função trigonométrica. O resultado esperado é uma família de primitivas, ou seja, a integral indefinida com uma constante de integração C.

Passo 2

Técnica escolhida: integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que ela é conveniente aqui. A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função que vamos diferenciar (daí obtemos du),
  • dv é o resto do integrando que vamos integrar (daí obtemos v).
Dica prática para escolher u e dv: quando há um polinômio multiplicando uma função trigonométrica ou exponencial, costuma ser bom escolher u igual ao polinômio (porque ao diferenciar o polinômio o grau diminui) e dv o termo trigonométrico vezes dx. Por isso escolho
u = x^{2}+2x,\qquad dv = \cos x\,dx.

Passo 3

Calcular du e v:
du = \frac{d}{dx}(x^{2}+2x)\,dx = (2x+2)\,dx.
v = \int \cos x\,dx = \sin x.
Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
\int (x^{2}+2x)\cos x\,dx = (x^{2}+2x)\sin x - \int \sin x\,(2x+2)\,dx.

Passo 4

Separar a integral restante para facilitar:
\int \sin x\,(2x+2)\,dx = 2\int x\sin x\,dx + 2\int \sin x\,dx.
Portanto
\int (x^{2}+2x)\cos x\,dx = (x^{2}+2x)\sin x - 2\int x\sin x\,dx - 2\int \sin x\,dx.

Passo 5

Calcular \int x\sin x\,dx usando integração por partes novamente. Escolhendo
u_1 = x,\qquad dv_1 = \sin x\,dx,
temos
du_1 = dx,\qquad v_1 = \int \sin x\,dx = -\cos x.
Aplicando a fórmula:
\int x\sin x\,dx = u_1 v_1 - \int v_1\,du_1 = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x.
Também sabemos que
\int \sin x\,dx = -\cos x.

Passo 6

Substituir os resultados do Passo 5 na expressão do Passo 4:
\int (x^{2}+2x)\cos x\,dx = (x^{2}+2x)\sin x - 2\bigl(-x\cos x + \sin x\bigr) - 2\bigl(-\cos x\bigr) + C.
Aqui C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle (x^{2}+2x-2)\sin x + 2(x+1)\cos x + C

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