Informando sempre a técnica utilizada, resolva as integrais ( 2,0 pontos cada item).
Passo 1
O que o problema pede: calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. Mais precisamente, precisamos encontrar
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
é um polinômio de grau
e
é uma função trigonométrica. O resultado esperado é uma família de primitivas, ou seja, a integral indefinida com uma constante de integração
.
Passo 2
Técnica escolhida: integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que ela é conveniente aqui. A fórmula da integração por partes é
onde:
-
é uma função que vamos diferenciar (daí obtemos ), -
é o resto do integrando que vamos integrar (daí obtemos ).
Dica prática para escolher
e
: quando há um polinômio multiplicando uma função trigonométrica ou exponencial, costuma ser bom escolher
igual ao polinômio (porque ao diferenciar o polinômio o grau diminui) e
o termo trigonométrico vezes
. Por isso escolho
Passo 3
Calcular
e
:
Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
Passo 4
Separar a integral restante para facilitar:
Portanto
Passo 5
Calcular
usando integração por partes novamente. Escolhendo
temos
Aplicando a fórmula:
Também sabemos que
Passo 6
Substituir os resultados do Passo 5 na expressão do Passo 4:
Aqui
é a constante de integração.