Pergunta (ii): usar o resultado de (i) para resolver a equação diferencial\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-3 \frac{d y}{d t}+2 y=e^{-4 t}com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=5.
Informações úteis que temos (direto do enunciado):
Função racional no domínio de s: \dfrac{s^{2}+6 s+9}{(s+4)(s-2)(s-1)}.
Para a EDO: termos lineares constantes, forçamento e^{-4t}, e condições iniciais.
Passo 2
Entendendo a técnica que vamos usar para (i): inversa da transformada de Laplace de uma função racional.
Regra prática: funções da forma \dfrac{1}{s-a} têm inversa \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at}. Por linearidade, se decompor a função racional em somas de frações simples do tipo \dfrac{\text{const}}{s-a}, basta inverter termo a termo.
Portanto vamos fazer uma decomposição em frações parciais da funçãoF(s)=\frac{s^{2}+6 s+9}{(s+4)(s-2)(s-1)}.
Observação rápida: s^{2}+6s+9=(s+3)^{2} (isso ajuda a ver formas, mas não evita a decomposição).
Aplicando \mathscr{L}^{-1} termo a termo e usando \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at} (atenção aos sinais: \dfrac{1}{s-2}\mapsto e^{2t}, \dfrac{1}{s+4}\mapsto e^{-4t}, etc.), obtemos\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{s^{2}+6 s+9}{(s+4)(s-2)(s-1)}\right\} =\frac{1}{30}e^{-4t}+\frac{25}{6}e^{2t}-\frac{16}{5}e^{t}.
Passo 5
Agora (ii): usar (i) para resolver a EDO por transformada de Laplace.
Primeiro, recordar as fórmulas para transformadas de derivadas (essas fórmulas são essenciais e fáceis de aplicar):\mathscr{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathscr{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0),onde Y(s)=\mathscr{L}\{y(t)\}.
Aplicando a transformada de Laplace à EDOy''-3y'+2y=e^{-4t}e substituindo y(0)=1 e y'(0)=5, obtemos:\bigl(s^{2}Y-s\cdot1-5\bigr)-3\bigl(sY-1\bigr)+2Y=\frac{1}{s+4}.
Organizando os termos em Y:\bigl(s^{2}-3s+2\bigr)Y-(s+2)=\frac{1}{s+4}.PortantoY(s)=\frac{1}{(s+4)(s^{2}-3s+2)}+\frac{s+2}{s^{2}-3s+2}.
Note que s^{2}-3s+2=(s-1)(s-2). Juntando as parcelas sobre o mesmo denominador dáY(s)=\frac{1+(s+2)(s+4)}{(s+4)(s-1)(s-2)}=\frac{s^{2}+6s+9}{(s+4)(s-1)(s-2)}.Ou seja, exatamente a mesma função racional cuja inversa calculamos em (i).
Passo 6
Concluindo a solução da EDO usando o resultado de (i).
Como Y(s) coincide com a função de (i), basta aplicar o resultado de (i) para obter y(t):y(t)=\mathscr{L}^{-1}\{Y(s)\} =\frac{1}{30}e^{-4t}+\frac{25}{6}e^{2t}-\frac{16}{5}e^{t}.
Comentário final de checagem (rápido e útil na prova): verifica-se que y(0)=\dfrac{1}{30}+\dfrac{25}{6}-\dfrac{16}{5}=1 e que a derivada y'(0) avaliada dá 5, então as condições iniciais batem (isso confirma que não houve erro algébrico).