i) Encontre \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s^{2}+6 s+9}{(s+4)(s-2)(s-1)}\right\}.
ii) Use i) para resolver a equação diferencial
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=e^{-4 t}
sujeita às condições iniciais: y(0)=1 ; y^{\prime}(0)=5.

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas:
  • Pergunta (i): calcular \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s^{2}+6 s+9}{(s+4)(s-2)(s-1)}\right\}.
  • Pergunta (ii): usar o resultado de (i) para resolver a equação diferencial \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-3 \frac{d y}{d t}+2 y=e^{-4 t}com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=5.
Informações úteis que temos (direto do enunciado):
  • Função racional no domínio de s: \dfrac{s^{2}+6 s+9}{(s+4)(s-2)(s-1)}.
  • Para a EDO: termos lineares constantes, forçamento e^{-4t}, e condições iniciais.

Passo 2

Entendendo a técnica que vamos usar para (i): inversa da transformada de Laplace de uma função racional.
  • Regra prática: funções da forma \dfrac{1}{s-a} têm inversa \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at}. Por linearidade, se decompor a função racional em somas de frações simples do tipo \dfrac{\text{const}}{s-a}, basta inverter termo a termo.
  • Portanto vamos fazer uma decomposição em frações parciais da função F(s)=\frac{s^{2}+6 s+9}{(s+4)(s-2)(s-1)}.
  • Observação rápida: s^{2}+6s+9=(s+3)^{2} (isso ajuda a ver formas, mas não evita a decomposição).
Proponho a forma
\frac{s^{2}+6 s+9}{(s+4)(s-2)(s-1)}=\frac{A}{s+4}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{s-1}.
Multiplicando ambos os lados por (s+4)(s-2)(s-1) obtemos a identidade polinomial
(s+3)^{2}=A(s-2)(s-1)+B(s+4)(s-1)+C(s+4)(s-2).

Passo 3

Encontrando os coeficientes [A,B,C) passo a passo.
Expandindo e agrupando por potências de s dá o sistema (mostrando os coeficientes):
(A+B+C)s^{2}+(-3A+3B+2C)s+(2A-4B-8C)=s^{2}+6s+9.
Comparando coeficientes obtemos o sistema linear
\begin{cases} A+B+C=1,\\[4pt] -3A+3B+2C=6,\\[4pt] 2A-4B-8C=9. \end{cases}
Resolvendo (mostrando os passos algébricos):
  • Da primeira: C=1-A-B\]. - Substituindo na segunda: \[-3A+3B+2(1-A-B)=6 \implies -5A+B=4 \implies B=5A+4.\] - Substituindo \(B e C na terceira: 2A-4(5A+4)-8(-6A-3)=9,onde usei C=1-A-(5A+4)=-6A-3. Desenvolvendo: 2A-20A-16+48A+24=9 \implies 30A+8=9 \implies A=\frac{1}{30}.
  • Então B=5\cdot\frac{1}{30}+4=\frac{1}{6}+4=\frac{25}{6}, \qquad C=-6\cdot\frac{1}{30}-3=-\frac{1}{5}-3=-\frac{16}{5}.
Verificação rápida: A+B+C=\dfrac{1}{30}+\dfrac{25}{6}-\dfrac{16}{5}=1 (confere).]

Passo 4

Agora obtemos a inversa usando as frações simples.
  • Temos \frac{s^{2}+6 s+9}{(s+4)(s-2)(s-1)}=\frac{1}{30}\cdot\frac{1}{s+4}+\frac{25}{6}\cdot\frac{1}{s-2}-\frac{16}{5}\cdot\frac{1}{s-1}.
  • Aplicando \mathscr{L}^{-1} termo a termo e usando \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at} (atenção aos sinais: \dfrac{1}{s-2}\mapsto e^{2t}, \dfrac{1}{s+4}\mapsto e^{-4t}, etc.), obtemos \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{s^{2}+6 s+9}{(s+4)(s-2)(s-1)}\right\} =\frac{1}{30}e^{-4t}+\frac{25}{6}e^{2t}-\frac{16}{5}e^{t}.

Passo 5

Agora (ii): usar (i) para resolver a EDO por transformada de Laplace.
  • Primeiro, recordar as fórmulas para transformadas de derivadas (essas fórmulas são essenciais e fáceis de aplicar): \mathscr{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathscr{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0),onde Y(s)=\mathscr{L}\{y(t)\}.
  • Aplicando a transformada de Laplace à EDO y''-3y'+2y=e^{-4t}e substituindo y(0)=1 e y'(0)=5, obtemos: \bigl(s^{2}Y-s\cdot1-5\bigr)-3\bigl(sY-1\bigr)+2Y=\frac{1}{s+4}.
  • Organizando os termos em Y: \bigl(s^{2}-3s+2\bigr)Y-(s+2)=\frac{1}{s+4}.Portanto Y(s)=\frac{1}{(s+4)(s^{2}-3s+2)}+\frac{s+2}{s^{2}-3s+2}.
  • Note que s^{2}-3s+2=(s-1)(s-2). Juntando as parcelas sobre o mesmo denominador dá Y(s)=\frac{1+(s+2)(s+4)}{(s+4)(s-1)(s-2)}=\frac{s^{2}+6s+9}{(s+4)(s-1)(s-2)}.Ou seja, exatamente a mesma função racional cuja inversa calculamos em (i).

Passo 6

Concluindo a solução da EDO usando o resultado de (i).
  • Como Y(s) coincide com a função de (i), basta aplicar o resultado de (i) para obter y(t): y(t)=\mathscr{L}^{-1}\{Y(s)\} =\frac{1}{30}e^{-4t}+\frac{25}{6}e^{2t}-\frac{16}{5}e^{t}.
  • Comentário final de checagem (rápido e útil na prova): verifica-se que y(0)=\dfrac{1}{30}+\dfrac{25}{6}-\dfrac{16}{5}=1 e que a derivada y'(0) avaliada dá 5, então as condições iniciais batem (isso confirma que não houve erro algébrico).

Resposta

\displaystyle \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{s^{2}+6 s+9}{(s+4)(s-2)(s-1)}\right\}=\frac{1}{30}e^{-4t}+\frac{25}{6}e^{2t}-\frac{16}{5}e^{t}
\displaystyle y(t)=\frac{1}{30}e^{-4t}+\frac{25}{6}e^{2t}-\frac{16}{5}e^{t}

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