Calcule a impedância nos terminais de um circuito fasorial, se as funções no domínio do tempo representadas pelos fasores \mathbf{V} e \mathbf{I} desse circuito são v=-30 \cos 2 t+16 \operatorname{sen} 2 t \mathrm{~V}, i=1,7 \cos \left(2 t+20^{\circ}\right) \mathrm{A}.

Passo 1

O enunciado nos dá as tensões e correntes no domínio do tempo
v(t) = -30\cos(2t) + 16\operatorname{sen}(2t)\quad\text{V},
i(t) = 1,7\cos\bigl(2t + 20^\circ\bigr)\quad\text{A},
e pede a impedância Z vista pelos terminais, sabendo que em regime senoidal
Z = \frac{V}{I},
onde V e I são os fasores de pico dessas grandezas.

Passo 2

Transformamos v(t) num único cosseno para obtermos o fasor V. Note que
16\operatorname{sen}(2t) = 16\cos\bigl(2t - 90^\circ\bigr).
Logo
v(t) = -30\cos(2t) + 16\cos\bigl(2t - 90^\circ\bigr),
o que corresponde à soma dos fasores -30\angle 0^\circ e 16\angle -90^\circ.

Passo 3

Somamos esses dois fasores em forma retangular:
V = -30 + j\,0 \;+\; 0 - j\,16 \;=\; -30 - j\,16.
Agora convertemos para forma polar:
|V| = \sqrt{(-30)^2 + (-16)^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34{,}0,
\arg(V) = \atan\!\bigl(\tfrac{-16}{-30}\bigr) + 180^\circ = \atan(0{,}5333) + 180^\circ \approx 28^\circ + 180^\circ = 208^\circ,
que também pode ser escrito como -152^\circ. Portanto
V = 34{,}0\angle -152^\circ\quad\text{(Vp)}.

Passo 4

O fasor da corrente é direto pela forma do cosseno dado:
I = 1{,}7\angle 20^\circ\quad\text{(Ap)}.

Passo 5

Calculamos agora
Z = \frac{V}{I} = \frac{34{,}0\angle -152^\circ}{1{,}7\angle 20^\circ} = \frac{34{,}0}{1{,}7}\;\angle\bigl(-152^\circ - 20^\circ\bigr) = 20{,}0\angle -172^\circ\;\Omega.
Se preferirmos forma retangular,
Z = 20{,}0\bigl(\cos(-172^\circ) + j\operatorname{sen}(-172^\circ)\bigr) \approx -19{,}8 - j\,2{,}1\;\Omega.

Resposta

Z = 20{,}0\angle -172^\circ\\ \Omega (ou Z \approx -19{,}8 - j\,2{,}1\\ \Omega).

Exercícios relacionados