6.5 A corrente nos terminais dos dois capacitores mostrados é 240 e^{-10 t} \mu \mathrm{~A} para t \geq 0. Os valores iniciais de v_{1} e v_{2} são -10 \mathrm{~V} \mathrm{e}-5 \mathrm{~V}, respectivamente. Calcule a energia total armazenada nos capacitores à medida que t \rightarrow \infty. (Sugestão: não combine os capacitores em série - determine a energia armazenada em cada um para, então, somá-las.)

Passo 1

O enunciado dá dois capacitores em série, de capacitâncias C_{1}=2{\,\mu\mathrm{F}} e C_{2}=8{\,\mu\mathrm{F}}, com as tensões iniciais v_{1}(0)=-10\mathrm{~V} e v_{2}(0)=-5\mathrm{~V}. Há uma corrente comum
i(t)=240\,e^{-10t}\,\mathrm{\mu A},\quad t\ge0,
fluindo pelo conjunto. Precisamos achar, quando t\to\infty, a energia total armazenada, usando a ideia de que cada capacitor armazena
E=\frac12\,C\,v^{2}.

Passo 2

Calcular a carga líquida entregue aos capacitores integrando a corrente de 0 a \infty:
q=\int_{0}^{\infty}i(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}240\,e^{-10t}\,\mathrm{\mu A}\,dt =240\,\mathrm{\mu A}\cdot\frac{1}{10} =24\,\mathrm{\mu C}.

Passo 3

Cada capacitor recebe a mesma carga q. Como a corrente entra na placa considerada positiva de ambos, a variação de tensão em cada um é \Delta v=q/C. Logo:
v_{1}(\infty) =v_{1}(0)+\frac{q}{C_{1}} =-10+\frac{24}{2} =-10+12 =2\mathrm{~V},
v_{2}(\infty) =v_{2}(0)+\frac{q}{C_{2}} =-5+\frac{24}{8} =-5+3 =-2\mathrm{~V}.

Passo 4

Calcular a energia em cada capacitor no regime permanente:
E_{1} =\tfrac12\,C_{1}\,v_{1}(\infty)^{2} =\tfrac12\cdot2{\,\mu\mathrm{F}}\cdot(2\mathrm{~V})^{2} =4\times10^{-6}\mathrm{~J},
E_{2} =\tfrac12\,C_{2}\,v_{2}(\infty)^{2} =\tfrac12\cdot8{\,\mu\mathrm{F}}\cdot(-2\mathrm{~V})^{2} =16\times10^{-6}\mathrm{~J}.

Passo 5

Somando as duas energias vem
E_{\text{total}} =E_{1}+E_{2} =4\times10^{-6}+16\times10^{-6} =20\times10^{-6}\mathrm{~J}=20\mathrm{~\mu J}.

Resposta

A energia total armazenada nos capacitores quando t\to\infty é 20\mathrm{~\mu J}.

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