Considere uma linha de transmissão sem perdas de impedância característica Zc. Essa linha de transmissão é utilizada para alimentar uma carga de impedância resistiva Z_{L}= R_{L} \neq Z_{c}. Entre a linha e a carga é conectada uma linha de transmissão sem perdas de impedância característica Z_{1} \neq Z_{L}, Z_{c} e de comprimento l .
(a) Determine o coeficiente de reflexão em \mathrm{z}=-1.
(b) Assumindo l=\lambda_{1} / 4, com \lambda_{1} representando o comprimento de onda na linha de transmissão intermediária, determine Z_{1} para que o coeficiente de reflexão seja nulo, ou seja, para a condição de casamento. A seção intermediária de linha de transmissão é denominada de transformador de quarto de onda.

Passo 1

O enunciado trata de uma linha sem perdas de impedância característica Z_c que alimenta, por meio de uma seção intermediária de comprimento l e impedância característica Z_1, uma carga puramente resistiva Z_L=R_L\neq Z_c.
Conteúdo: teoria de transformação de impedância em linha sem perdas e coeficiente de reflexão.

Passo 2

Na seção intermediária (impedância Z_1, comprimento l) terminada em R_L, a impedância de entrada vista da linha principal é, pela expressão padrão para linha lossless,
Z_{\rm in} =Z_1\;\frac{R_L + j\,Z_1\,\tan(\beta_1\,l)}{Z_1 + j\,R_L\,\tan(\beta_1\,l)},
onde \beta_1=2\pi/\lambda_1.

Passo 3

O coeficiente de reflexão na interface com a linha de impedância Z_c (em z=-l) é dado por
\Gamma(-l) =\frac{Z_{\rm in}-Z_c}{Z_{\rm in}+Z_c}.

Passo 4

Para l=\lambda_1/4 temos \beta_1\,l=\pi/2 e \tan(\beta_1\,l)\to\infty, de modo que
Z_{\rm in} =\frac{Z_1^2}{R_L}.
A condição de casamento ( \Gamma(-l)=0) exige Z_{\rm in}=Z_c, isto é
\frac{Z_1^2}{R_L}=Z_c.

Resposta

(a) \Gamma(-l) =\frac{\displaystyle Z_1\frac{R_L + j\,Z_1\,\tan(\beta_1\,l)}{Z_1 + j\,R_L\,\tan(\beta_1\,l)}-Z_c} {\displaystyle Z_1\frac{R_L + j\,Z_1\,\tan(\beta_1\,l)}{Z_1 + j\,R_L\,\tan(\beta_1\,l)}+Z_c}.
(b) Z_1=\sqrt{Z_c\,R_L}.

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