Calcule a inclinação da reta tangente à curva polar dada, no ponto correspondente ao valor especificado de \theta. (Dica: Lembre-se de que, em coordenadas polares, a derivada \frac{d y}{d x} pode ser obtida por: \frac{d y}{d x}=\frac{r^{\prime}(\theta) \sin \theta+r(\theta) \cos \theta}{r^{\prime}(\theta) \cos \theta-r(\theta) \sin \theta} ).
r=2-\sin \theta, \quad \theta=\frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado dá:
  • A curva polar r(\theta)=2-\sin\theta.
  • O ponto onde queremos a inclinação é para \theta=\dfrac{\pi}{3}.
O que é pedido:
  • Calcular a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto, ou seja \dfrac{dy}{dx} avaliado em \theta=\dfrac{\pi}{3}.

Passo 2

Vamos lembrar por que a fórmula indicada funciona (aqui explico a ideia passo a passo).
Em coordenadas polares temos as relações entre x,y e r,\theta:
x=r(\theta)\cos\theta,\qquad y=r(\theta)\sin\theta.
Queremos \dfrac{dy}{dx}. Se diferenciarmos ambos em relação a \theta obtemos:
\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta,
onde r'(\theta)=\dfrac{dr}{d\theta}. Então, usando a regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} =\frac{r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta}.
Essa é exatamente a fórmula dada. Aqui r'(\theta) significa a derivada de r em relação a \theta; \sin\theta e \cos\theta são as funções trigonométricas usuais.

Passo 3

Calcule r'(\theta) para r(\theta)=2-\sin\theta.
A derivada é
r'(\theta)=\frac{d}{d\theta}(2-\sin\theta)= -\cos\theta.

Passo 4

Avalie as funções em \theta=\dfrac{\pi}{3}.
\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.
Logo
r'\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2},
r\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2-\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4-\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Calcule o numerador da fórmula em \theta=\dfrac{\pi}{3}:
\text{num}=r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta = \left(-\frac{1}{2}\right)\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) +\left(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!\left(\frac{1}{2}\right).
Compute termo a termo:
\left(-\frac{1}{2}\right)\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{4},
\left(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{\sqrt{3}}{4}.
Somando:
\text{num}= -\frac{\sqrt{3}}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{4} =1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Calcule o denominador da fórmula em \theta=\dfrac{\pi}{3}:
\text{den}=r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta = \left(-\frac{1}{2}\right)\!\left(\frac{1}{2}\right) -\left(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Compute termo a termo:
\left(-\frac{1}{2}\right)\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4},
\left(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{(4-\sqrt{3})\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}-3}{4}.
Subtraindo:
\text{den}= -\frac{1}{4} - \frac{4\sqrt{3}-3}{4} = \frac{2-4\sqrt{3}}{4} = \frac{1-2\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Agora a inclinação é
\frac{dy}{dx}=\frac{\text{num}}{\text{den}} =\frac{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1-2\sqrt{3}}{2}} =\frac{2-\sqrt{3}}{1-2\sqrt{3}}.
Podemos simplificar racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por 1+2\sqrt{3}):
\frac{2-\sqrt{3}}{1-2\sqrt{3}}\cdot\frac{1+2\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}} =\frac{(2-\sqrt{3})(1+2\sqrt{3})}{1-(2\sqrt{3})^{2}} =\frac{-4+3\sqrt{3}}{-11}=\frac{4-3\sqrt{3}}{11}.
Como verificação numérica, \dfrac{4-3\sqrt{3}}{11}\approx -0,1087, o que coincide com a fração obtida.

Resposta

\dfrac{4-3\sqrt{3}}{11}\approx -0,1087

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