Calcule a inclinação da reta tangente à curva polar dada, no ponto correspondente ao valor especificado de
. (Dica: Lembre-se de que, em coordenadas polares, a derivada
pode ser obtida por:
).
Passo 1
O enunciado dá:
- A curva polar
. - O ponto onde queremos a inclinação é para
.
O que é pedido:
- Calcular a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto, ou seja
avaliado em .
Passo 2
Vamos lembrar por que a fórmula indicada funciona (aqui explico a ideia passo a passo).
Em coordenadas polares temos as relações entre e
:
Em coordenadas polares temos as relações entre
Queremos
. Se diferenciarmos ambos em relação a
obtemos:
onde
. Então, usando a regra da cadeia,
Essa é exatamente a fórmula dada. Aqui
significa a derivada de
em relação a
;
e
são as funções trigonométricas usuais.
Passo 3
Calcule
para
.
A derivada é
A derivada é
Passo 4
Avalie as funções em
.
Logo
Passo 5
Calcule o numerador da fórmula em
:
Compute termo a termo:
Somando:
Passo 6
Calcule o denominador da fórmula em
:
Compute termo a termo:
Subtraindo:
Passo 7
Agora a inclinação é
Podemos simplificar racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por
):
Como verificação numérica,
, o que coincide com a fração obtida.