Calcule a inclinação da reta tangente à curva polar dada, no ponto correspondente ao valor especificado de \theta. (Dica: Lembre-se de que, em coordenadas polares, a derivada \frac{d y}{d x} pode ser obtida por: \frac{d y}{d x}=\frac{r^{\prime}(\theta) \sin \theta+r(\theta) \cos \theta}{r^{\prime}(\theta) \cos \theta-r(\theta) \sin \theta} ).
r=2 \sin \theta, \quad \theta=\frac{\pi}{6}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a curva polar r(\theta)=2\sin\theta.
  • Dá o valor do parâmetro: \theta=\dfrac{\pi}{6}.
  • Pede: calcular a inclinação da reta tangente à curva no ponto correspondente a \theta=\dfrac{\pi}{6}, isto é, calcular \dfrac{dy}{dx} naquele \theta.

Passo 2

Lembrete (fórmulas de conversão e ideia geral).
  • Em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas são
x=r(\theta)\cos\theta,\qquad y=r(\theta)\sin\theta.
  • Para encontrar a inclinação da tangente usamos a regra de derivação paramétrica:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}.
Aqui \dfrac{dy}{d\theta} é a derivada de y em relação a \theta e \dfrac{dx}{d\theta} é a derivada de x em relação a \theta. Vou mostrar como obter essas derivadas passo a passo.

Passo 3

Derivar x e y em relação a \theta.
  • Começando de x=r(\theta)\cos\theta, usando a regra do produto (derivada de u\cdot v é u'v+uv'):
\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta.
(derivada de \cos\theta é -\sin\theta.)
  • Para y=r(\theta)\sin\theta:
\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta.
(derivada de \sin\theta é \cos\theta.)
  • Portanto, substituindo na fórmula paramétrica:
\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta},
que é exatamente a fórmula dada no enunciado. Aqui r'(\theta) denota a derivada de r em relação a \theta.

Passo 4

Calcular r'(\theta) para a nossa r.
  • Dada r(\theta)=2\sin\theta, sua derivada é
r'(\theta)=2\cos\theta.

Passo 5

Avaliar r(\theta), r'(\theta), \sin\theta e \cos\theta em \theta=\dfrac{\pi}{6}.
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}.
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Logo
r\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}=1,
r'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=2\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.

Passo 6

Substituir os valores na fórmula e calcular numerador e denominador.
  • Numerador:
r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta = \sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2} + 1\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
  • Denominador:
r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta = \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1.
  • Assim, na fórmula obtém-se numerador igual a \sqrt{3} e denominador igual a 1.

Resposta

\sqrt{3}

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