Calcule a inclinação da reta tangente à curva polar dada, no ponto correspondente ao valor especificado de
. (Dica: Lembre-se de que, em coordenadas polares, a derivada
pode ser obtida por:
).
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a curva polar
. - Dá o valor do parâmetro:
. - Pede: calcular a inclinação da reta tangente à curva no ponto correspondente a
, isto é, calcular naquele .
Passo 2
Lembrete (fórmulas de conversão e ideia geral).
- Em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas são
- Para encontrar a inclinação da tangente usamos a regra de derivação paramétrica:
Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. Vou mostrar como obter essas derivadas passo a passo.
Passo 3
Derivar
e
em relação a
.
- Começando de
, usando a regra do produto (derivada de é ):
(derivada de
é
.)
- Para
:
(derivada de
é
.)
- Portanto, substituindo na fórmula paramétrica:
que é exatamente a fórmula dada no enunciado. Aqui
denota a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calcular
para a nossa
.
- Dada
, sua derivada é
Passo 5
Avaliar
,
,
e
em
.
-
-
- Logo
Passo 6
Substituir os valores na fórmula e calcular numerador e denominador.
- Numerador:
- Denominador:
- Assim, na fórmula obtém-se numerador igual a
e denominador igual a .