Encontre uma equação em coordenadas polares equivalente a cada uma das equações dadas em coordenadas cartesianas.
x^{2}+y^{2}=2 c x

Passo 1

O enunciado fornece a equação em coordenadas cartesianas
x^{2}+y^{2}=2c x,
onde c é uma constante. A tarefa é encontrar uma equação equivalente em coordenadas polares.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Equação fornecida: \;x^{2}+y^{2}=2c x.\n
  • c é uma constante (pode ser positiva, negativa ou zero).\n
  • Pede-se: uma expressão que ligue r e \theta nas coordenadas polares, equivalente à equação acima.

Passo 2

Lembrando a definição de coordenadas polares: cada ponto no plano é representado por um par (r,\theta), onde:
  • r é a distância do ponto à origem (geralmente \;r\ge 0\;), e
  • \theta é o ângulo medido desde o eixo x positivo até o raio que vai da origem ao ponto.
As relações entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta) são
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.
Vou usar essas relações para transformar a equação dada.

Passo 3

Primeiro calcule x^{2}+y^{2} em termos de r e \theta. Substituindo:
x^{2}+y^{2} = (r\cos\theta)^{2} + (r\sin\theta)^{2} = r^{2}\big(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\big).
Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, segue que
x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Passo 4

Agora substituo x e x^{2}+y^{2} na equação original:
r^{2} = 2c\,(r\cos\theta).
Essa é uma equação em r e \theta. Vamos manipular algebricamente para isolá‑la.

Passo 5

Colocando todos os termos num lado e fatorando r:
r^{2}-2c r\cos\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad r\big(r-2c\cos\theta\big)=0.
Dessa fatoração obtemos as soluções:
  • r=0, que representa o ponto origem; e
  • r=2c\cos\theta.
A forma usual da equação polar que descreve essa curva é
r=2c\cos\theta,
observando que r=0 está contido nessa família (ocorre, por exemplo, quando \cos\theta=0 ou explicitamente como solução trivial).

Passo 6

Comentário geométrico (para fixar a intuição): se preferir checar na forma cartesiana, pode completar o quadrado:
x^{2}-2c x + y^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad (x-c)^{2}+y^{2}=c^{2},
que é um círculo de centro (c,0) e raio |c|. A equação polar r=2c\cos\theta descreve exatamente esse mesmo círculo (com as observações habituais sobre o sinal de r e os ângulos \theta quando c for negativo).

Resposta

r = 2c\cos\theta

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