Encontre uma equação em coordenadas polares equivalente a cada uma das equações dadas em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado fornece a equação em coordenadas cartesianas
onde
é uma constante. A tarefa é encontrar uma equação equivalente em coordenadas polares.
Informações dadas e o que é pedido:
- Equação fornecida:
.\n -
é uma constante (pode ser positiva, negativa ou zero).\n - Pede-se: uma expressão que ligue
e nas coordenadas polares, equivalente à equação acima.
Passo 2
Lembrando a definição de coordenadas polares: cada ponto no plano é representado por um par
, onde:
-
é a distância do ponto à origem (geralmente ), e -
é o ângulo medido desde o eixo positivo até o raio que vai da origem ao ponto.
As relações entre coordenadas cartesianas
e polares
são
Vou usar essas relações para transformar a equação dada.
Passo 3
Primeiro calcule
em termos de
e
. Substituindo:
Como
, segue que
Passo 4
Agora substituo
e
na equação original:
Essa é uma equação em
e
. Vamos manipular algebricamente para isolá‑la.
Passo 5
Colocando todos os termos num lado e fatorando
:
Dessa fatoração obtemos as soluções:
-
, que representa o ponto origem; e -
.
A forma usual da equação polar que descreve essa curva é
observando que
está contido nessa família (ocorre, por exemplo, quando
ou explicitamente como solução trivial).
Passo 6
Comentário geométrico (para fixar a intuição): se preferir checar na forma cartesiana, pode completar o quadrado:
que é um círculo de centro
e raio
. A equação polar
descreve exatamente esse mesmo círculo (com as observações habituais sobre o sinal de
e os ângulos
quando
for negativo).