Calcule:
\int 10^{3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 10^{3x}\,dx.
Informações dadas: a função a ser integrada é \;10^{3x}\; e a variável de integração é x. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=10^{3x}. Vou mostrar passo a passo como chegar nela.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a derivada da função exponencial de base a>0 é
\frac{d}{dx}\bigl(a^{x}\bigr)=a^{x}\ln a.
Explicação curta do porquê: escrevemos a^{x}=e^{x\ln a}. Como a derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}g'(x) (regra da cadeia), temos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x\ln a}\bigr)=e^{x\ln a}\cdot \ln a = a^{x}\ln a.
Daí segue que uma primitiva de a^{x} é
\int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C,
porque ao derivar \dfrac{a^{x}}{\ln a} aparece exatamente a^{x}.

Passo 3

No nosso caso temos uma composição linear no expoente: 10^{3x}. Uma abordagem limpinha é fazer a substituição
u=3x.
Então
du=3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.
Substituindo na integral:
\int 10^{3x}\,dx=\int 10^{u}\cdot\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int 10^{u}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do passo 2 para integrar \int 10^{u}\,du. Usando a=10, temos
\int 10^{u}\,du=\frac{10^{u}}{\ln 10}+C.
Logo,
\frac{1}{3}\int 10^{u}\,du=\frac{1}{3}\cdot\frac{10^{u}}{\ln 10}+C=\frac{10^{u}}{3\ln 10}+C.

Passo 5

Voltando à variável original x (substituindo u=3x):
\int 10^{3x}\,dx=\frac{10^{3x}}{3\ln 10}+C.
Pequena verificação rápida: derivando \dfrac{10^{3x}}{3\ln 10} pela regra da cadeia obtemos
\frac{1}{3\ln 10}\cdot 10^{3x}\cdot 3\ln 10 = 10^{3x},
como desejado. Está certinho!

Resposta

\displaystyle \frac{10^{3x}}{3\ln 10}+C

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