Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
e
são funções trigonométricas em
. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é o integrando) e incluir a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método. Há duas maneiras naturais e simples para essa integral: (A) substituição (u-substituição) e (B) usar uma identidade trigonométrica de ângulo duplo. Vou escolher a substituição porque é direta e costuma ser a abordagem mais elementar em provas; depois mostro o caminho com a identidade para reforçar e comparar.
Passo 3
Explicando a ideia da substituição. A técnica consiste em identificar uma parte do integrando que, derivada, aparece multiplicando-a. Formalmente, se tivermos uma composição
e
aparece multiplicando, podemos tomar
,
e trocar a integral em
por uma em
:
Aqui devemos identificar
de modo que sua derivada esteja relacionada com o restante do integrando.
Passo 4
Aplicando substituição ao nosso caso. Observa-se que a derivada de
é
. Então tomo
Derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
,
Passo 5
Troca na integral usando
. Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Integração em
. A primitiva de
é
. Portanto,
Voltando à variável
(substituição reversa),
Passo 7
Verificação rápida por derivação (checar que é realmente primitiva). Derivando
usando regra da cadeia e regra do produto:
ou seja, recuperamos o integrando. Tudo certo.
Passo 8
Mostro também o método alternativo com identidade trigonométrica (só para treino). Usando
com
,
Assim
Essas duas formas são equivalentes a menos de uma constante: usando
vê-se que
ou seja, diferem apenas pela constante
.