Calcule:
\int \cos 6 x \cdot \operatorname{sen}(6 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos 6x \cdot \operatorname{sen}(6x)\,dx.
Informações dadas:
\cos 6x e \operatorname{sen}(6x) são funções trigonométricas em x. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é o integrando) e incluir a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método. Há duas maneiras naturais e simples para essa integral: (A) substituição (u-substituição) e (B) usar uma identidade trigonométrica de ângulo duplo. Vou escolher a substituição porque é direta e costuma ser a abordagem mais elementar em provas; depois mostro o caminho com a identidade para reforçar e comparar.

Passo 3

Explicando a ideia da substituição. A técnica consiste em identificar uma parte do integrando que, derivada, aparece multiplicando-a. Formalmente, se tivermos uma composição f(g(x)) e g'(x) aparece multiplicando, podemos tomar u=g(x), du=g'(x)\,dx e trocar a integral em x por uma em u:
\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui devemos identificar g(x) de modo que sua derivada esteja relacionada com o restante do integrando.

Passo 4

Aplicando substituição ao nosso caso. Observa-se que a derivada de \operatorname{sen}(6x) é 6\cos 6x. Então tomo
u = \operatorname{sen}(6x).
Derivando ambos os lados em relação a x,
du = 6\cos 6x\,dx.
Isolando \cos 6x\,dx,
\cos 6x\,dx = \frac{1}{6}\,du.

Passo 5

Troca na integral usando u. Substituindo \operatorname{sen}(6x)=u e \cos 6x\,dx=\dfrac{1}{6}du, obtemos
\int \cos 6x \cdot \operatorname{sen}(6x)\,dx = \int u\cdot \frac{1}{6}\,du = \frac{1}{6}\int u\,du.

Passo 6

Integração em u. A primitiva de u é u^2/2. Portanto,
\frac{1}{6}\int u\,du = \frac{1}{6}\cdot\frac{u^2}{2} + C = \frac{1}{12}u^2 + C.
Voltando à variável x (substituição reversa),
\frac{1}{12}u^2 + C = \frac{1}{12}\operatorname{sen}^2(6x) + C.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (checar que é realmente primitiva). Derivando \dfrac{1}{12}\operatorname{sen}^2(6x) usando regra da cadeia e regra do produto:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{12}\operatorname{sen}^2(6x)\right) = \frac{1}{12}\cdot 2\operatorname{sen}(6x)\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(6x)\big) = \frac{1}{6}\operatorname{sen}(6x)\cdot(6\cos 6x) = \operatorname{sen}(6x)\cos 6x,
ou seja, recuperamos o integrando. Tudo certo.

Passo 8

Mostro também o método alternativo com identidade trigonométrica (só para treino). Usando \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta com \theta=6x,
\operatorname{sen}(6x)\cos 6x = \frac{1}{2}\operatorname{sen}(12x).
Assim
\int \operatorname{sen}(6x)\cos 6x\,dx = \frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(12x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{12}\cos(12x)\right)+C = -\frac{1}{24}\cos(12x)+C.
Essas duas formas são equivalentes a menos de uma constante: usando \cos(12x)=1-2\operatorname{sen}^2(6x) vê-se que
-\frac{1}{24}\cos(12x)=\frac{1}{12}\operatorname{sen}^2(6x)-\frac{1}{24},
ou seja, diferem apenas pela constante -\dfrac{1}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}\operatorname{sen}^2(6x)+C

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