Calcule:
int e^{3 x} d x \quad

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função e^{3x}, isto é:
\int e^{3x}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função exponencial com argumento linear 3x. Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): quando temos uma exponencial cuja parte dentro do expoente é uma função linear ax (aqui a=3), uma técnica simples e rápida é fazer a substituição u = 3x. Isso simplifica o expoente para u e nos permite usar a fórmula simples
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Vou aplicar essa substituição passo a passo.

Passo 3

Faça a substituição:
u = 3x.
Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
\frac{du}{dx} = 3 \quad\Rightarrow\quad du = 3\,dx.
Isolando dx,
dx = \frac{du}{3}.

Passo 4

Substitua u e dx na integral original:
\int e^{3x}\,dx = \int e^{u}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int e^{u}\,du.
Agora aplicamos a primitiva conhecida de e^{u}:
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Portanto,
\frac{1}{3}\int e^{u}\,du = \frac{1}{3}e^{u} + C.

Passo 5

Volte à variável original x (substituição reversa): como u=3x, temos
\frac{1}{3}e^{u} + C = \frac{1}{3}e^{3x} + C.
Essa é a família de primitivas procurada. Explanação final: a constante C aparece porque integrais indefinidas determinam funções até uma constante; qualquer \frac{1}{3}e^{3x}+C tem derivada e^{3x}.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): diferencie \frac{1}{3}e^{3x}+C:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}e^{3x}+C\right) = \frac{1}{3}\cdot e^{3x}\cdot 3 = e^{3x},
confirmando que a primitiva está correta. Força aí — essa técnica de substituição é rápida e cai bastante em prova!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}e^{3x}+C

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