Calcule.
, onde
é o arco de circunferêncía de raio 1 e centro na origem, com extremidades
e
, orientado no sentido anti-horário de
para
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral de linha
onde
é o arco da circunferência de raio
e centro na origem com extremidades
e
, orientado no sentido anti-horário de
para
.
Informações relevantes dadas:
- O campo vetorial associado é
e . - O arco
tem raio (então em todos os pontos de vale ). - A orientação "anti-horário de
para " corresponde ao arco que vai de até na parametrização padrão (ou seja, o semicírculo inferior). - A região onde o campo está definido é
— o campo tem singularidade na origem, mas a curva não passa pela origem.
Passo 2
Vou verificar se esse diferencial é exato (isto é, se existe uma função potencial
tal que
). Procuramos
tal que
Uma função que costuma aparecer com essas derivadas é o logaritmo do quadrado da distância ao origem. Proponho
Agora calculo as derivadas parciais de
para confirmar que coincidem com
e
.
Passo 3
Derivo
:
Portanto
em todo ponto com
. Ou seja, o campo é gradient de
na região onde está definido (toda a reta menos a origem). Como a curva
fica em
, podemos aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos gradiente: a integral depende apenas dos pontos finais e vale
.
Explicando rápido o que usei: quando um campo é gradiente de
, então para qualquer curva suave
de
a
,
Aqui identificamos
.
Passo 4
Calculo
nos pontos extremos. Em ambos os pontos
e
temos
, então
Logo, pela propriedade de campo gradiente,
Passo 5
Como verificação alternativa (útil para a prova) faço a substituição paramétrica direta: parametrize a circunferência por
com
variando de
até
(isto corresponde a partir de
até
no sentido anti-horário). Então
e como
ao longo da curva,
Integrando de
a
dá
. Isso confirma o resultado anterior.