Calcule.
\int_{\alpha}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} d y,onde \alpha:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} é uma curva suave por partes, com imagem contida no semiplano x>0, tal que \alpha(0)=(3,3) e \alpha(1)=(1, \sqrt{3})

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{\alpha} -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dx + \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy,
onde \alpha:[0,1]\to\mathbb{R}^2 é uma curva suave por partes com imagem contida no semi-plano x>0, \alpha(0)=(3,3) e \alpha(1)=(1,\sqrt{3}).\n
Portanto a pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral de linha entre os pontos indicados, sabendo que todo o trajeto fica com x>0?

Passo 2

Observação útil (intuição): o integrando tem a forma
-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy=\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}.
Quando uma forma diferencial pode ser escrita como a diferencial exata de uma função \varphi(x,y) (isto é, \mathrm{d}\varphi), a integral de linha entre dois pontos depende só dos valores de \varphi nos extremos (teorema fundamental para integrais de linha de campos gradiente). Então a ideia é procurar uma função \varphi tal que
\mathrm{d}\varphi=\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Tentar a função \varphi(x,y)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right). Vou calcular a diferencial dessa função passo a passo, explicando cada etapa.
Defina u=\dfrac{y}{x}. A função \varphi(x,y)=\arctan(u) tem diferencial
\mathrm{d}\varphi=\frac{1}{1+u^{2}}\,\mathrm{d}u.
Agora calcule \mathrm{d}u. Como u=\dfrac{y}{x}, usando a regra do quociente:
\mathrm{d}u=\mathrm{d}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}{x^{2}}.
Substituindo em \mathrm{d}\varphi:
\mathrm{d}\varphi=\frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}\cdot\frac{x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}{x^{2}}.

Passo 4

Simplificar a expressão acima. Note que
1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}.
Portanto
\mathrm{d}\varphi=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}{x^{2}} =\frac{x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x}{x^{2}+y^{2}}.
Isto coincide com a forma do integrando:
\mathrm{d}\varphi=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,\mathrm{d}x+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,\mathrm{d}y.
Logo a forma dada é exatamente \mathrm{d}\!\left(\arctan\!\big(\frac{y}{x}\big)\right).

Passo 5

Justificativa da validade da escolha de \varphi: a função \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) está bem definida e contínua ao longo de qualquer curva que permaneça no semi-plano x>0, porque para x>0 o quociente y/x varia sem atravessar as descontinuidades da função \arctan (podemos usar a ramo principal de \arctan com valores em -\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Portanto \varphi é uma função potencial válida no domínio do caminho \alpha, e podemos aplicar o teorema fundamental das integrais de linha: a integral depende apenas dos valores de \varphi nos extremos.

Passo 6

Aplicar a propriedade de potencial:
\int_{\alpha} -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy =\varphi\big(\alpha(1)\big)-\varphi\big(\alpha(0)\big).
Calcule \varphi nos pontos dados:
\varphi\big(\alpha(1)\big)=\varphi(1,\sqrt{3})=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)=\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3},
\varphi\big(\alpha(0)\big)=\varphi(3,3)=\arctan\!\left(\frac{3}{3}\right)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.

Passo 7

Subtrair os valores:
\varphi\big(\alpha(1)\big)-\varphi\big(\alpha(0)\big)=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{4\pi-3\pi}{12}=\frac{\pi}{12}.
Portanto a integral vale \dfrac{\pi}{12}. Relaxa — deu certinho porque o caminho não passou pelo eixo x=0 nem pela origem, então não houve salto de ramo do ângulo.

Resposta

\dfrac{\pi}{12}

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