Calcule.
,onde
é uma curva suave por partes, com imagem contida no semiplano
, tal que
e
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é uma curva suave por partes com imagem contida no semi-plano
,
e
.\n
Portanto a pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral de linha entre os pontos indicados, sabendo que todo o trajeto fica com ?
Portanto a pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral de linha entre os pontos indicados, sabendo que todo o trajeto fica com
Passo 2
Observação útil (intuição): o integrando tem a forma
Quando uma forma diferencial pode ser escrita como a diferencial exata de uma função
(isto é,
), a integral de linha entre dois pontos depende só dos valores de
nos extremos (teorema fundamental para integrais de linha de campos gradiente). Então a ideia é procurar uma função
tal que
Passo 3
Tentar a função
. Vou calcular a diferencial dessa função passo a passo, explicando cada etapa.
Defina
. A função
tem diferencial
Agora calcule
. Como
, usando a regra do quociente:
Substituindo em
:
Passo 4
Simplificar a expressão acima. Note que
Portanto
Isto coincide com a forma do integrando:
Logo a forma dada é exatamente
.
Passo 5
Justificativa da validade da escolha de
: a função
está bem definida e contínua ao longo de qualquer curva que permaneça no semi-plano
, porque para
o quociente
varia sem atravessar as descontinuidades da função
(podemos usar a ramo principal de
com valores em
). Portanto
é uma função potencial válida no domínio do caminho
, e podemos aplicar o teorema fundamental das integrais de linha: a integral depende apenas dos valores de
nos extremos.
Passo 6
Aplicar a propriedade de potencial:
Calcule
nos pontos dados:
Passo 7
Subtrair os valores:
Portanto a integral vale
. Relaxa — deu certinho porque o caminho não passou pelo eixo
nem pela origem, então não houve salto de ramo do ângulo.