Determine c \in[-3,5] que satisfaz o Teorema de Rolle se f(x)=\frac{x^{2}-2 x-15}{-x+6}.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede: determinar c\in[-3,5] que satisfaça o Teorema de Rolle para a função
f(x)=\frac{x^{2}-2 x-15}{-x+6}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Intervalo fechado: [-3,5].
  • Função racional com denominador -x+6 (observe que -x+6=0 em x=6, ou seja, há uma descontinuidade em x=6 — informação útil para checar domínio).
  • A tarefa é encontrar o(s) c no intervalo que o Teorema de Rolle garante (ou seja, os pontos onde f'\text{(c)}=0, se as hipóteses do teorema forem satisfeitas).

Passo 2

Primeiro verificar se f(-3)=f(5) (uma das hipóteses de Rolle). Calcular f(-3) e f(5) passo a passo:
Calcular f(-3):
f(-3)=\frac{(-3)^{2}-2(-3)-15}{-(-3)+6}=\frac{9+6-15}{3+6}=\frac{0}{9}=0.
Calcular f(5):
f(5)=\frac{5^{2}-2\cdot5-15}{-5+6}=\frac{25-10-15}{1}=\frac{0}{1}=0.
Portanto
f(-3)=0=f(5),
ou seja, a condição f(a)=f(b) com a=-3 e b=5 está satisfeita.

Passo 3

Verificar continuidade em [-3,5] e diferentiabilidade em (-3,5):
  • A função f é uma razão de polinômios. Razões de polinômios são contínuas e diferenciáveis em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero.
  • O denominador é -x+6. Para x\in[-3,5] temos -x+6\neq0 (já que a única raiz -x+6=0 é x=6, que não pertence a [-3,5]).
  • Logo f é contínua em [-3,5] e diferenciável em (-3,5).
Com isso, todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas, então existe pelo menos um c\in(-3,5) tal que f'\text{(c)}=0.

Passo 4

Para encontrar esse(s) c precisamos calcular f'(x) e resolver f'(x)=0. Antes de derivar, é conveniente simplificar f(x) para facilitar a derivada.
Fatorizar o numerador:
x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3).
Também podemos fazer a divisão polinomial (dividir x^{2}-2x-15 por x-6) para escrever a função de forma mais simples. Note que
x^{2}-2x-15=(x-6)(x+4)+9,
portanto
\frac{x^{2}-2x-15}{x-6}=x+4+\frac{9}{x-6}.
Como o denominador original é -x+6=-(x-6), temos
f(x)=-\frac{x^{2}-2x-15}{x-6}=-(x+4)-\frac{9}{x-6}.
Assim
f(x)=-x-4-\frac{9}{x-6}.

Passo 5

Derivar f(x) termo a termo. Relembrando: a derivada de (x-6)^{-1} é -1\cdot(x-6)^{-2} (regra da potência combinada com a cadeia). Escrevendo os passos:
Escrever o termo com potência:
-\frac{9}{x-6}=-9(x-6)^{-1}.
Derivando cada termo:
  • Derivada de -x é -1.
  • Derivada de -4 é 0.
  • Derivada de -9(x-6)^{-1} é -9\cdot(-1)(x-6)^{-2}= \dfrac{9}{(x-6)^{2}}.
Portanto
f'(x)=-1+\frac{9}{(x-6)^{2}}.

Passo 6

Resolver f'(x)=0:
-1+\frac{9}{(x-6)^{2}}=0
\frac{9}{(x-6)^{2}}=1
(x-6)^{2}=9
x-6=\pm 3
Logo as soluções são
x=6+3=9\quad\text{ou}\quad x=6-3=3.

Passo 7

Selecionar as soluções que pertencem a (-3,5) (o Teorema de Rolle garante existência em aberto):
  • x=9 não pertence a (-3,5).
  • x=3 pertence a (-3,5).
Portanto o ponto procurado é c=3. Dá para observar que é único dentro do intervalo fechado dado.

Resposta

c=3

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