Determine
que satisfaz o Teorema de Rolle se
.
Resposta: □
Passo 1
O enunciado pede: determinar
que satisfaça o Teorema de Rolle para a função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Intervalo fechado:
. - Função racional com denominador
(observe que em , ou seja, há uma descontinuidade em — informação útil para checar domínio). - A tarefa é encontrar o(s)
no intervalo que o Teorema de Rolle garante (ou seja, os pontos onde , se as hipóteses do teorema forem satisfeitas).
Passo 2
Primeiro verificar se
(uma das hipóteses de Rolle). Calcular
e
passo a passo:
Calcular
:
Calcular
:
Portanto
ou seja, a condição
com
e
está satisfeita.
Passo 3
Verificar continuidade em
e diferentiabilidade em
:
- A função
é uma razão de polinômios. Razões de polinômios são contínuas e diferenciáveis em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. - O denominador é
. Para temos (já que a única raiz é , que não pertence a ). - Logo
é contínua em e diferenciável em .
Com isso, todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas, então existe pelo menos um
tal que
.
Passo 4
Para encontrar esse(s)
precisamos calcular
e resolver
. Antes de derivar, é conveniente simplificar
para facilitar a derivada.
Fatorizar o numerador:
Também podemos fazer a divisão polinomial (dividir
por
) para escrever a função de forma mais simples. Note que
portanto
Como o denominador original é
, temos
Assim
Passo 5
Derivar
termo a termo. Relembrando: a derivada de
é
(regra da potência combinada com a cadeia). Escrevendo os passos:
Escrever o termo com potência:
Derivando cada termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 6
Resolver
:
Logo as soluções são
Passo 7
Selecionar as soluções que pertencem a
(o Teorema de Rolle garante existência em aberto):
-
não pertence a . -
pertence a .
Portanto o ponto procurado é
. Dá para observar que é único dentro do intervalo fechado dado.