onde \alpha é determinada pela parábola e pela reta. Há uma ambiguidade: a expressão "parábola y=2x" está inconsistente (isso é uma reta). Vou assumir que o enunciado quis dizer a parábola
y^{2}=2x
(forma padrão de parábola que abre para a direita) e a reta vertical
x=2.
Com essa interpretação, as interseções entre a parábola e a reta são obtidas resolvendo y^{2}=2\cdot 2, portanto y=\pm 2. Logo os pontos de interseção são (2,2) e (2,-2). A curva \alpha é o contorno fechado formado pela porção da parábola y^{2}=2x entre (2,-2) e (2,2) e pela reta vertical x=2 entre (2,2) e (2,-2).
O que se pede, portanto, é o valor da integral de linha do campo vetorial \vec F(x,y) = \bigl(xy,\;x-y^{2}\bigr) ao longo desse contorno fechado \alpha. Vou assumir orientação positiva (contra-horária) no contorno, a menos que o enunciado especifique outra orientação.
Passo 2
Estratégia escolhida e por quê (explicação didática).
Para integrar um campo vetorial \vec F=(P,Q) ao longo de um contorno fechado simples e regular que delimita uma região R no plano, existe uma fórmula muito útil que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre R. Essa fórmula diz que, se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de R, então, com orientação positiva (contra-horária),
P(x,y) é a primeira componente do campo (xy no nosso caso),
Q(x,y) é a segunda componente (x-y^{2}),
\frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x,
\frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y,
dA é o elemento de área (usaremos dx\,dy ou dy\,dx conforme facilitar).
Esta transformação é conveniente porque evita parametrizar duas curvas separadas e calcular duas integrais de linha; em vez disso, calcula-se uma integral dupla sobre a região R entre a parábola e a reta. Antes de aplicar, verificamos que P e Q são polinômios, logo têm derivadas parciais contínuas — condição satisfeita.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula.
Temos P(x,y)=xy e Q(x,y)=x-y^{2}. Então:
Descrever a região R e montar os limites da integral dupla.
A região R é a região limitada à direita pela reta x=2 e à esquerda pela parábola x=\dfrac{y^{2}}{2} (rearranjando y^{2}=2x). Os valores de y na fronteira vão de y=-2 a y=2 (encontrados resolvendo y^{2}=2\cdot 2). Logo uma descrição conveniente é:
Interpretação final e observação sobre orientação.
Portanto, com a orientação positiva (contra-horária) do contorno \alpha, a integral de linha vale -\tfrac{16}{15}.
Nota importante: se a orientação do contorno fosse a oposta (horária), o valor da integral mudaria de sinal; então nesse caso daria +\tfrac{16}{15}. Como o enunciado não especificou, adotei a orientação padrão positiva (contra-horária).
Força aí! Se quiser, mostro também a parametrização direta das duas curvas e calculo a integral de linha pelo método direto passo a passo (sem usar o teorema), para exercitar a parametrização.