Calcule \int_{\alpha}\left(x y, x-y^{2}\right) d \vec{r}, onde \alpha é determinada pela parábola y=2 x e a reta x=2.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{\alpha}\bigl(xy,\;x-y^{2}\bigr)\cdot d\vec r,
onde \alpha é determinada pela parábola e pela reta. Há uma ambiguidade: a expressão "parábola y=2x" está inconsistente (isso é uma reta). Vou assumir que o enunciado quis dizer a parábola
y^{2}=2x
(forma padrão de parábola que abre para a direita) e a reta vertical
x=2.
Com essa interpretação, as interseções entre a parábola e a reta são obtidas resolvendo y^{2}=2\cdot 2, portanto y=\pm 2. Logo os pontos de interseção são (2,2) e (2,-2). A curva \alpha é o contorno fechado formado pela porção da parábola y^{2}=2x entre (2,-2) e (2,2) e pela reta vertical x=2 entre (2,2) e (2,-2).
O que se pede, portanto, é o valor da integral de linha do campo vetorial \vec F(x,y) = \bigl(xy,\;x-y^{2}\bigr) ao longo desse contorno fechado \alpha. Vou assumir orientação positiva (contra-horária) no contorno, a menos que o enunciado especifique outra orientação.

Passo 2

Estratégia escolhida e por quê (explicação didática).
Para integrar um campo vetorial \vec F=(P,Q) ao longo de um contorno fechado simples e regular que delimita uma região R no plano, existe uma fórmula muito útil que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre R. Essa fórmula diz que, se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de R, então, com orientação positiva (contra-horária),
\oint_{\partial R} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui:
  • P(x,y) é a primeira componente do campo ( xy no nosso caso),
  • Q(x,y) é a segunda componente ( x-y^{2}),
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x,
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y,
  • dA é o elemento de área (usaremos dx\,dy ou dy\,dx conforme facilitar).
Esta transformação é conveniente porque evita parametrizar duas curvas separadas e calcular duas integrais de linha; em vez disso, calcula-se uma integral dupla sobre a região R entre a parábola e a reta. Antes de aplicar, verificamos que P e Q são polinômios, logo têm derivadas parciais contínuas — condição satisfeita.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula.
Temos P(x,y)=xy e Q(x,y)=x-y^{2}. Então:
\frac{\partial Q}{\partial x}=1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=x.
Portanto o integrando da integral dupla é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-x.

Passo 4

Descrever a região R e montar os limites da integral dupla.
A região R é a região limitada à direita pela reta x=2 e à esquerda pela parábola x=\dfrac{y^{2}}{2} (rearranjando y^{2}=2x). Os valores de y na fronteira vão de y=-2 a y=2 (encontrados resolvendo y^{2}=2\cdot 2). Logo uma descrição conveniente é:
-2\le y\le 2,\qquad \frac{y^{2}}{2}\le x\le 2.
Assim a integral dupla fica
\iint_{R}(1-x)\,dA = \int_{y=-2}^{2}\int_{x=\frac{y^{2}}{2}}^{2} (1-x)\,dx\,dy.

Passo 5

Calcular a integral interna em x.
Calcule
\int_{x=\frac{y^{2}}{2}}^{2} (1-x)\,dx.
A primitiva de 1-x em x é x-\dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando nos limites:
\left[x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=\frac{y^{2}}{2}}^{x=2} = \left(2-\frac{2^{2}}{2}\right) - \left(\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{y^{2}}{2}\right)^{2}\right).
Calcule cada parte: 2-\dfrac{4}{2}=2-2=0. Para a parte do limite inferior:
\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{y^{4}}{4}\right)=\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{4}}{8}.
Portanto o resultado da integral interna é
0 - \left(\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{4}}{8}\right) = -\frac{y^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{8}.

Passo 6

Integrar em y e avaliar a integral dupla.
Agora precisamos calcular
\int_{-2}^{2}\left(-\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{4}}{8}\right)\,dy.
Observe que a função integranda é par (mesma para y e -y), então podemos dobrar a integral de 0 a 2:
\int_{-2}^{2}\left(-\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{4}}{8}\right)\,dy = 2\int_{0}^{2}\left(-\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{4}}{8}\right)\,dy.
Calcule as duas integrais separadamente:
\int_{0}^{2} -\frac{y^{2}}{2}\,dy = -\frac{1}{2}\cdot\frac{y^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3} = -\frac{4}{3},
\int_{0}^{2} \frac{y^{4}}{8}\,dy = \frac{1}{8}\cdot\frac{y^{5}}{5}\Big|_{0}^{2} = \frac{1}{8}\cdot\frac{32}{5}=\frac{4}{5}.
Somando dentro do parêntese:
-\frac{4}{3}+\frac{4}{5} = -\frac{20}{15}+\frac{12}{15} = -\frac{8}{15}.
Multiplicando por 2 (pela simetria):
2\cdot\left(-\frac{8}{15}\right) = -\frac{16}{15}.

Passo 7

Interpretação final e observação sobre orientação.
Portanto, com a orientação positiva (contra-horária) do contorno \alpha, a integral de linha vale -\tfrac{16}{15}.
Nota importante: se a orientação do contorno fosse a oposta (horária), o valor da integral mudaria de sinal; então nesse caso daria +\tfrac{16}{15}. Como o enunciado não especificou, adotei a orientação padrão positiva (contra-horária).
Força aí! Se quiser, mostro também a parametrização direta das duas curvas e calculo a integral de linha pelo método direto passo a passo (sem usar o teorema), para exercitar a parametrização.

Resposta

-\dfrac{16}{15}

Exercícios relacionados