Calcule
onde
é a curva abaixo:
é o segmento orientado de
a
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é o segmento orientado de
a
.
Informações dadas:
- Ponto inicial:
. - Ponto final:
. - A curva
é o segmento de reta que liga esses dois pontos, com orientação do primeiro para o segundo. - Integrando-se a função escalar
ao longo de com o elemento de comprimento de arco .
Passo 2
Vamos parametrizar o segmento de reta de forma simples e padrão: use
e escreva a posição como ponto inicial mais
vezes o vetor diretor (final − inicial).
O vetor diretor é
Uma parametrização conveniente é
Daí as coordenadas paramétricas são
Passo 3
Explicar o elemento de comprimento de arco
: se
é a parametrização, então
Calcule as derivadas:
Portanto
que é constante ao longo do segmento. Logo
Passo 4
Substituir
e
na função integranda
e simplificar passo a passo.
Primeiro calcule
:
Desenvolvendo:
Agora compute
e
:
Somando tudo:
Agrupando termos:
- constantes:
, - termos em
: , - termo em
: .
Logo
Passo 5
Montar a integral em
. Usando
,
Calcule a primitiva termo a termo:
Avalie de
a
:
Passo 6
Multiplicando pelo fator
, obtemos o valor da integral: