Calcule \int_{\alpha}(x y-x+y) d S onde \alpha é a curva abaixo:
\alpha é o segmento orientado de (-1,2) a (2,3).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{\alpha} (x y - x + y)\,dS
onde \alpha é o segmento orientado de (-1,2) a (2,3).
Informações dadas:
  • Ponto inicial: (-1,2).
  • Ponto final: (2,3).
  • A curva \alpha é o segmento de reta que liga esses dois pontos, com orientação do primeiro para o segundo.
  • Integrando-se a função escalar f(x,y)=x y - x + y ao longo de \alpha com o elemento de comprimento de arco dS.

Passo 2

Vamos parametrizar o segmento de reta de forma simples e padrão: use t\in[0,1] e escreva a posição como ponto inicial mais t vezes o vetor diretor (final − inicial).
O vetor diretor é
(2,3)-(-1,2)=(3,1).
Uma parametrização conveniente é
\mathbf{r}(t)=(-1,2)+t(3,1), \qquad 0\le t\le 1.
Daí as coordenadas paramétricas são
x(t)=-1+3t, \qquad y(t)=2+t.

Passo 3

Explicar o elemento de comprimento de arco dS: se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) é a parametrização, então
dS=|\mathbf{r}'(t)|\,dt=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt.
Calcule as derivadas:
x'(t)=3,\qquad y'(t)=1.
Portanto
|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},
que é constante ao longo do segmento. Logo
dS=\sqrt{10}\,dt.

Passo 4

Substituir x(t) e y(t) na função integranda f(x,y)=x y - x + y e simplificar passo a passo.
Primeiro calcule x(t)\,y(t):
x(t)\,y(t)=(-1+3t)(2+t).
Desenvolvendo:
(-1+3t)(2+t)=-2 - t +6t +3t^2=-2+5t+3t^2.
Agora compute -x(t) e +y(t):
-x(t)=1-3t,\qquad y(t)=2+t.
Somando tudo:
x(t)y(t)-x(t)+y(t)=(-2+5t+3t^2)+(1-3t)+(2+t).
Agrupando termos:
  • constantes: -2+1+2=1,
  • termos em t: 5t-3t+t=3t,
  • termo em t^2: 3t^2.
Logo
f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=1+3t+3t^2.

Passo 5

Montar a integral em t. Usando dS=\sqrt{10}\,dt,
\int_{\alpha}(x y - x + y)\,dS = \int_{0}^{1}\bigl(1+3t+3t^2\bigr)\sqrt{10}\,dt = \sqrt{10}\int_{0}^{1}\bigl(1+3t+3t^2\bigr)\,dt.
Calcule a primitiva termo a termo:
\int\bigl(1+3t+3t^2\bigr)\,dt = t+\frac{3}{2}t^2+t^3 + C.
Avalie de 0 a 1:
\left[t+\frac{3}{2}t^2+t^3\right]_{0}^{1}=1+\frac{3}{2}+1=\frac{7}{2}.

Passo 6

Multiplicando pelo fator \sqrt{10}, obtemos o valor da integral:
\int_{\alpha}(x y - x + y)\,dS=\frac{7}{2}\sqrt{10}.

Resposta

\dfrac{7}{2}\sqrt{10}

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