Deduza as seguintes fórmulas integrais
\oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n} d \vec{r}=\iint(v \Delta u+\nabla v \cdot \nabla u) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede que se deduza a identidade
\oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n} d \vec{r}=\iint (v \Delta u+\nabla v\cdot\nabla u)\,dx\,dy.
Informações e hipóteses que o enunciado fornece (ou que são necessárias para a dedução):
  • \alpha é uma curva fechada que é o contorno orientado de uma região plana \Omega (ou seja, \alpha=\partial\Omega).
  • u e v são funções suficientemente suaves em \overline\Omega (por exemplo u,v\in C^2(\overline\Omega)), de modo que gradientes, derivadas de segunda ordem e o teorema da divergência sejam aplicáveis.
  • \dfrac{\partial u}{\partial n} indica a derivada normal de u na fronteira, com n sendo o versor normal exterior à região \Omega.
  • A identidade a deduzir relaciona uma integral de contorno (esquerda) com uma integral dupla sobre \Omega (direita).

Passo 2

Definições e conceitos que vamos usar (explicados passo a passo):
  • Gradiente: para uma função u(x,y),
\nabla u=(u_x,u_y),
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x} e u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y}.
Explanação: o gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais; ele aponta na direção de maior crescimento de u.
  • Derivada normal: a derivada de u na direção do versor normal exterior n=(n_x,n_y) é
\frac{\partial u}{\partial n}=\nabla u\cdot n = u_x n_x + u_y n_y.
Explanação: multiplicando o gradiente pelo vetor normal obtém-se a taxa de variação de u perpendicular à fronteira.
  • Laplaciano: a operação laplaciana em duas variáveis é
\Delta u=\operatorname{div}(\nabla u)=u_{xx}+u_{yy},
onde u_{xx}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} e u_{yy}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}.
Explanação: o laplaciano é a divergência do gradiente; mede, de forma intuitiva, a curvatura média de u.
  • Teorema da divergência (no plano): para um campo vetorial F=(F_1,F_2) suficientemente suave em \Omega,
\iint_{\Omega} \operatorname{div}F\,dx\,dy=\oint_{\partial\Omega} F\cdot n\,ds,
onde \operatorname{div}F=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y} e ds é o elemento de comprimento ao longo da fronteira.
Explanação: o teorema transforma uma integral dupla da divergência sobre a região numa integral de fluxo do campo pela fronteira.

Passo 3

Construção do campo vetorial adequado: a ideia é escolher um campo cuja divergência produza exatamente o integrando da integral dupla desejada. Defina
F=v\,\nabla u.
Escrevendo componentes,
F=(v u_x,\, v u_y).
Explicação: multiplicar \nabla u por v é uma escolha natural porque, ao aplicar a divergência, surgirão termos com derivadas de v e com derivadas segundas de u, que correspondem a \nabla v\cdot\nabla u e v\Delta u.

Passo 4

Calcule a divergência de F passo a passo:
\operatorname{div}F=\frac{\partial}{\partial x}(v u_x)+\frac{\partial}{\partial y}(v u_y).
Aplicando a regra do produto em cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(v u_x)=v_x u_x + v u_{xx},
\frac{\partial}{\partial y}(v u_y)=v_y u_y + v u_{yy}.
Somando as duas expressões:
\operatorname{div}F=(v_x u_x+v_y u_y) + v(u_{xx}+u_{yy}).
Reconhecendo os termos:
v_x u_x+v_y u_y=\nabla v\cdot\nabla u, \qquad u_{xx}+u_{yy}=\Delta u,
logo
\operatorname{div}F=\nabla v\cdot\nabla u + v\Delta u.
Explanação: aqui usamos a linearidade da divergência e a regra do produto; o resultado mostra exatamente a soma que aparece na integral dupla do lado direito da identidade desejada.

Passo 5

Aplicação do teorema da divergência ao campo F. Pelo teorema:
\iint_{\Omega} \operatorname{div}F\,dx\,dy=\oint_{\partial\Omega} F\cdot n\,ds.
Substituindo a expressão de \operatorname{div}F do Passo 4:
\iint_{\Omega} \bigl(\nabla v\cdot\nabla u + v\Delta u\bigr)\,dx\,dy=\oint_{\partial\Omega} (v\nabla u)\cdot n\,ds.
No lado direito, (v\nabla u)\cdot n = v\,(\nabla u\cdot n)=v\,\dfrac{\partial u}{\partial n}. Assim:
\iint_{\Omega} \bigl(\nabla v\cdot\nabla u + v\Delta u\bigr)\,dx\,dy=\oint_{\partial\Omega} v\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds.
Explicação: a integral de bordo do produto vetorial reduz-se à integral da função v vezes a derivada normal de u, que é exatamente o lado esquerdo da identidade a deduzir (com ds o elemento de comprimento sobre \alpha).

Passo 6

Conclusão e observações finais:
  • Reescrevendo com a notação do enunciado (onde a curva fechada é \alpha=\partial\Omega e a integral de contorno está sobre \alpha), obtemos a identidade desejada
\oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n}\,ds=\iint_{\Omega}\bigl(v\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u\bigr)\,dx\,dy.
  • Condições necessárias: a dedução exige u,v\in C^2(\overline\Omega) (ou hipóteses semelhantes) para que a divergência e o teorema da divergência sejam aplicáveis; n é o versor normal exterior e a orientação de \alpha é positiva (contorno de \Omega visto de forma que o interior fique sempre à esquerda).
  • Esta identidade é conhecida como a primeira identidade de Green e é amplamente usada em equações de Laplace, problemas de contorno e formulação variacional.

Resposta

\oint_{\alpha} v \frac{\partial u}{\partial n}\,d\vec r=\iint_{\Omega}\bigl(v\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u\bigr)\,dx\,dy.

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