Calcule:
\int_{a}^{b} 0 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{a}^{b} 0\, dx
Informações dadas:
  • A função integranda é a função identicamente zero, isto é, f(x)=0 para todo x.
  • Os limites de integração são \,a e \,b (não foi explicitado se a<b; são valores reais quaisquer).
  • A pergunta é: qual o valor da integral definida acima?

Passo 2

Vamos lembrar a ideia básica do que é uma integral definida (de forma intuitiva e suficiente para a prova): a integral de uma função f em [a,b] pode ser apresentada como o limite de somas de Riemann. Para uma função constante c em [a,b], a soma de Riemann com n subintervalos de largura \Delta x é simples de calcular. Seja \Delta x=\dfrac{b-a}{n} e tome qualquer ponto de amostragem x_i^* em cada subintervalo. Então a soma de Riemann é
\sum_{i=1}^{n} c\cdot \Delta x
Explicando os símbolos:
  • c é a constante (valor da função em todo ponto).
  • n é o número de subintervalos (tende a infinito no limite).
  • \Delta x é a largura de cada subintervalo.
  • x_i^* é o ponto escolhido em cada subintervalo (não importa qual, porque f é constante).

Passo 3

A soma de Riemann acima simplifica porque c não depende de i:
\sum_{i=1}^{n} c\cdot \Delta x = c\sum_{i=1}^{n} \Delta x = c\cdot n\cdot \Delta x
Mas n\cdot \Delta x = b-a, logo
\sum_{i=1}^{n} c\cdot \Delta x = c\cdot (b-a)
Passando ao limite quando n\to\infty (a definição da integral), obtemos a fórmula conhecida para a integral de uma constante:
\int_{a}^{b} c\, dx = c\,(b-a)

Passo 4

Agora apliquei isso ao nosso caso: a função é a constante c=0. Substituindo na fórmula:
\int_{a}^{b} 0\, dx = 0\cdot (b-a)
Como 0 multiplicado por qualquer número é 0, segue que
\int_{a}^{b} 0\, dx = 0

Passo 5

Comentário prático (útil para a prova): essa conclusão vale independentemente de a ser menor, maior ou igual a b. Mesmo se a>b, a definição padrão dá \int_{a}^{b}0\,dx = -\int_{b}^{a}0\,dx = -0 = 0. Alguns exemplos rápidos para fixar:
\int_{0}^{1} 0\, dx = 0
\int_{3}^{-2} 0\, dx = 0

Resposta

\displaystyle 0

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