Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função integranda é
. - Aqui
é a notação em português para . - O que precisamos encontrar é uma primitiva (uma antiderivada) da função dada, ou seja, uma expressão
tal que .
Passo 2
Observe que a expressão dentro da raiz envolve
e o numerador é
. Uma substituição natural é definir a nova variável igual a
. Definimos
Agora calculamos o diferencial
. Como a derivada de
em relação a
é
, temos
Isto significa que o fator
presente na integral pode ser substituído diretamente por
.
Passo 3
Fazendo a substituição
e
, a integral original transforma-se em uma integral em
:
Agora temos uma integral padrão em
:
com
.
Passo 4
Vamos lembrar (e justificar) a fórmula básica para integrais do tipo
.
Fórmula conhecida:
onde
e
é a constante de integração.
Justificativa (derivando a primitiva): considere a função
. Usando a regra da cadeia e a derivada
, obtemos
Portanto
, o que confirma a fórmula da primitiva.
Passo 5
Aplicamos a fórmula com
à integral em
:
Passo 6
Voltando para a variável original
, lembrando que
, substituímos:
Passo 7
É boa prática verificar rapidamente derivando o resultado obtido para confirmar que recuperamos a integranda. Seja
Aplicando a regra da cadeia,
que é exatamente a função integranda. A verificação está correta.