Calcule:
\int \frac{\cos x}{\sqrt{9-(\operatorname{sen} x)^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos x}{\sqrt{9-(\operatorname{sen} x)^{2}}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é \dfrac{\cos x}{\sqrt{9-(\operatorname{sen} x)^{2}}}.
  • Aqui \operatorname{sen} x é a notação em português para \sin x.
  • O que precisamos encontrar é uma primitiva (uma antiderivada) da função dada, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\cos x}{\sqrt{9-(\sin x)^{2}}}.

Passo 2

Observe que a expressão dentro da raiz envolve (\sin x)^2 e o numerador é \cos x. Uma substituição natural é definir a nova variável igual a \sin x. Definimos
u=\sin x.
Agora calculamos o diferencial du. Como a derivada de \sin x em relação a x é \cos x, temos
du = \cos x\,dx.
Isto significa que o fator \cos x\,dx presente na integral pode ser substituído diretamente por du.

Passo 3

Fazendo a substituição u=\sin x e du=\cos x\,dx, a integral original transforma-se em uma integral em u:
\int \frac{\cos x}{\sqrt{9-(\sin x)^{2}}}\,dx = \int \frac{du}{\sqrt{9-u^{2}}}.
Agora temos uma integral padrão em u: \displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} com a=3.

Passo 4

Vamos lembrar (e justificar) a fórmula básica para integrais do tipo \displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}.
Fórmula conhecida:
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} = \arcsin\!\left(\frac{u}{a}\right) + C,
onde a>0 e C é a constante de integração.
Justificativa (derivando a primitiva): considere a função G(u)=\arcsin\!\left(\frac{u}{a}\right). Usando a regra da cadeia e a derivada \dfrac{d}{dz}\arcsin z=\dfrac{1}{\sqrt{1-z^{2}}}, obtemos
\frac{d}{du}G(u) = \frac{d}{du}\arcsin\!\left(\frac{u}{a}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-(u/a)^{2}}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{a\sqrt{\frac{a^{2}-u^{2}}{a^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}.
Portanto G'(u)=\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}, o que confirma a fórmula da primitiva.

Passo 5

Aplicamos a fórmula com a=3 à integral em u:
\int \frac{du}{\sqrt{9-u^{2}}} = \arcsin\!\left(\frac{u}{3}\right) + C.

Passo 6

Voltando para a variável original x, lembrando que u=\sin x, substituímos:
\arcsin\!\left(\frac{u}{3}\right) + C = \arcsin\!\left(\frac{\sin x}{3}\right) + C.

Passo 7

É boa prática verificar rapidamente derivando o resultado obtido para confirmar que recuperamos a integranda. Seja
F(x)=\arcsin\!\left(\frac{\sin x}{3}\right).
Aplicando a regra da cadeia,
F'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(\sin x/3)^{2}}}\cdot\frac{\cos x}{3} = \frac{\cos x}{\sqrt{9-(\sin x)^{2}}},
que é exatamente a função integranda. A verificação está correta.

Resposta

\displaystyle \arcsin\!\left(\frac{\sin x}{3}\right)+C

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