Calcule:
\int_{1}^{4} \sqrt{5} x d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\displaystyle \int_{1}^{4} \sqrt{5}\, x \, dx.
Informações dadas: o integrando é \sqrt{5}\,x e os limites de integração são 1 (inferior) e 4 (superior).

Passo 2

Observação importante (regra da linearidade): uma constante pode ser tirada fora do sinal de integração. Em forma geral,
\int_{a}^{b} c\,f(x)\,dx = c \int_{a}^{b} f(x)\,dx,
onde c é uma constante. Aqui \sqrt{5} é constante, então aplicamos a regra:
\int_{1}^{4} \sqrt{5}\,x\,dx = \sqrt{5}\int_{1}^{4} x\,dx.
Isso simplifica o problema para integrar apenas x entre 1 e 4.

Passo 3

Regra para integrar potências (regra do expoente): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso x é x^{1}, então um antiderivado é
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Para integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F(x) é um antiderivado de f(x), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}, logo
\int_{1}^{4} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{1}^{4}.

Passo 4

Calcule o valor da diferença do antiderivado nos limites:
\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{1}^{4} = \frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}.
Mostrei passo a passo: 4^{2}=16, dividido por 2 8; 1^{2}=1, dividido por 2 1/2; subtraindo 8 - 1/2 = 7\frac{1}{2} = 15/2.

Passo 5

Volte à constante \sqrt{5} que estava fora da integral e multiplique pelo resultado obtido:
\sqrt{5}\int_{1}^{4} x\,dx = \sqrt{5}\cdot\frac{15}{2} = \frac{15}{2}\sqrt{5}.
Pronto — essa é a forma simplificada da resposta.

Resposta

\displaystyle \frac{15}{2}\sqrt{5}

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