Calcule
, onde
e
é o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
, onde:
- O campo vetorial é
. - A curva
é o círculo dado por (fechado).
O que se pede: calcular o valor numérico de.
Passo 2
Estratégia (explicação didática e escolha do método): uma maneira muito prática é verificar se
é um campo conservativo (isto é, se existe uma função potencial
tal que
). Se
for conservativo em uma região simplesmente conexa que contém
, então a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada nessa região é zero, porque a integral entre pontos é dada por
e numa curva fechada esses pontos coincidem. Vou então testar se
é conservativo verificando a igualdade das derivadas parciais mistas
e
, onde
e
.
Observação breve sobre o teorema usado: se
e
têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo e
em todo o domínio, então existe uma função
com
. O plano
é simplesmente conexo e as funções trigonométricas compostas com polinômios são
, então este teste é apropriado aqui.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais (passo a passo):
Primeiro calculemos
.
Derivando termo a termo em relação a
:
-
Para
: usar regra do produto. Considere e . Aqui. E .
Assim -
Para
:
Somando os dois resultados:
Agora calculemos
com
.
Usando produto e cadeia:
Temos
e
. Então
Comparando:
Portanto as derivadas mistas coincidem em todo
.
Passo 4
Conclusão sobre ser conservativo e construção da função potencial (aula prática):
Como as derivadas mistas coincidem e as funções envolvidas são
em todo
(que é simplesmente conexo),
é um campo conservativo. Agora vamos achar explicitamente uma função potencial
tal que
. Isso também é útil para entender por que a integral fechada é zero.
Começamos integrando
em relação a
:
Procuramos
com
. Integramos:
Observação esperta: a derivada em
da função
é
que é exatamente
. Logo uma primitiva em relação a
é
onde
é uma função apenas de
.
Agora impomos
. Calculando
Igualando a
obtemos
, logo
é constante. Assim podemos tomar como função potencial, por exemplo,
(uma constante adicionada não altera o gradiente).
Passo 5
Aplicação do teorema fundamental para campos conservativos e conclusão final:
Para qualquer curva suave
com extremidades
e
,
No caso de
ser um círculo fechado, a ponta final coincide com a inicial, então
. Portanto
Observação extra (intuição): outra verificação possível é usar o teorema de Green (circulação = integral dupla do rotacional): como
em toda a região interior do círculo, a circulação é zero — chega-se ao mesmo resultado.