Calcule o trabalho total realizado ao mover um objeto ao longo da curva
que consiste no arco da curva
de
a
e no segmento de reta de
a
, se o movimento for causado pelo campo de forças
. Esboce a curva e a região delimitada por ela. Suponha que o arco seja medido em metros e a força seja medida em newtons.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho total realizado ao mover um objeto ao longo da curva
formada por duas partes:
- Arco
: a curva do ponto até . - Segmento
: a reta do ponto de volta a .
A força é dada por
Informações e objetivos claros:
- O movimento ao longo de
segue primeiro (de para ) e depois (de para ). - As unidades: comprimento em metros, força em newtons, então o trabalho ficará em joules (
). - O que é pedido: calcular o trabalho total
ao longo de e esboçar a curva e a região delimitada por ela.
Passo 2
Conceito prático que vamos usar (aula rápida e aplicada):
- O trabalho realizado por um campo de forças
ao longo de uma curva parametrizada por é
Aqui
e
. A ideia: parametrize cada parte da curva, calcular
e integrar
. Vou explicar cada substituição passo a passo para você conseguir copiar isso na prova.
Passo 3
Verificação rápida se o campo é conservativo (às vezes isso simplifica):
- Calcular
e :
Como
, o campo NÃO é conservativo. Logo não podemos usar uma função potencial para avaliar o integral de linha; temos que computá-lo diretamente por parametrizações. Sem drama: é só seguir as integrais.
Passo 4
Parametrização e integral sobre o arco
(a curva
, de
a
):
- Parametrização conveniente:
- Derivadas:
- Substituir em
:
Então
Logo o trabalho em
é
Passo 5
Parametrização e integral sobre o segmento
(reta de
a
, isto é, ao longo do eixo
com
):
- Parametrização simples: usar
, com variando de a :
(Escolhemos os limites nessa ordem porque o sentido é de
para
.)
- Derivadas:
- Em
temos . Então
Portanto o trabalho em
é
(Usei uma mudança de letra para clareza; é a mesma integral de
a
com sinal trocado.)
Passo 6
Somar as duas contribuições e simplificar:
Note que
aparece com sinal positivo em
e com sinal negativo em
; essas duas cancelam exatamente. Assim sobra
Separe em três integrais para calcular claramente:
Passo 7
Calcular cada integral passo a passo.
- Primeira integral:
- Segunda integral (integração por partes). Use
.
- Escolha
e . Então e . - Assim
Avaliar os termos:
e
Logo
Multiplicando por
(lembrando o fator na expressão original):
- Terceira integral (substituição direta):
Faça a substituição
. Então
. Quando
,
. Quando
,
também. Então
(Observação didática: embora
suba e depois desça no intervalo, a substituição
é válida e o resultado final é a integral de uma primitiva avaliada entre os mesmos extremos, portanto zero.)
Passo 8
Somar os resultados:
Unidade: trabalho em joules, então
ou
.
Passo 9
Esboço da curva e da região (instrução prática para desenhar na prova):
- A curva
para é o clássico arco que começa em , atinge o máximo em e volta a em . Desenhe o eixo com marcas em e uma crista em . - O segmento reto de
a é simplesmente o eixo entre e . - A região delimitada por
é a região sob a curva e acima do eixo , do ao — a típica “barriga” da função seno no primeiro período. Indique a orientação usada: indo da esquerda para a direita sobre a crista, depois voltando pela base.