Calcule o trabalho total realizado ao mover um objeto ao longo da curva C que consiste no arco da curva y=\operatorname{sen} x de (0,0) a (\pi, 0) e no segmento de reta de (\pi, 0) a (0,0), se o movimento for causado pelo campo de forças F(x, y)=(\sqrt{x}+3 y) i+(2 x+\sqrt{y}) j. Esboce a curva e a região delimitada por ela. Suponha que o arco seja medido em metros e a força seja medida em newtons.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho total realizado ao mover um objeto ao longo da curva C formada por duas partes:
  • Arco C_1: a curva y=\sin x do ponto (0,0) até (\pi,0).
  • Segmento C_2: a reta do ponto (\pi,0) de volta a (0,0).
A força é dada por
F(x,y) = (\sqrt{x}+3y)\,i + (2x+\sqrt{y})\,j.
Informações e objetivos claros:
  • O movimento ao longo de C segue primeiro C_1 (de (0,0) para (\pi,0)) e depois C_2 (de (\pi,0) para (0,0)).
  • As unidades: comprimento em metros, força em newtons, então o trabalho ficará em joules ( \text{N}\cdot\text{m}).
  • O que é pedido: calcular o trabalho total W ao longo de C e esboçar a curva e a região delimitada por ela.

Passo 2

Conceito prático que vamos usar (aula rápida e aplicada):
  • O trabalho realizado por um campo de forças F=P\,i+Q\,j ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) é
W=\int_C F\cdot d\mathbf{r}=\int_{t_1}^{t_2}\big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
Aqui P(x,y)=\sqrt{x}+3y e Q(x,y)=2x+\sqrt{y}. A ideia: parametrize cada parte da curva, calcular d\mathbf{r} e integrar F\cdot d\mathbf{r}. Vou explicar cada substituição passo a passo para você conseguir copiar isso na prova.

Passo 3

Verificação rápida se o campo é conservativo (às vezes isso simplifica):
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial P}{\partial y}=3,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=2.
Como 3\neq2, o campo NÃO é conservativo. Logo não podemos usar uma função potencial para avaliar o integral de linha; temos que computá-lo diretamente por parametrizações. Sem drama: é só seguir as integrais.

Passo 4

Parametrização e integral sobre o arco C_1 (a curva y=\sin x, de x=0 a x=\pi):
  • Parametrização conveniente:
\mathbf{r}_1(t)=(t,\sin t),\qquad t\in[0,\pi].
  • Derivadas:
x'(t)=1,\qquad y'(t)=\cos t.
  • Substituir em F\cdot d\mathbf{r}:
P(x,y)=\sqrt{t}+3\sin t,\qquad Q(x,y)=2t+\sqrt{\sin t}.
Então
F\cdot d\mathbf{r}=\big(\sqrt{t}+3\sin t\big)\cdot 1\,dt+\big(2t+\sqrt{\sin t}\big)\cdot\cos t\,dt.
Logo o trabalho em C_1 é
W_1=\int_{0}^{\pi}\left(\sqrt{t}+3\sin t+(2t+\sqrt{\sin t})\cos t\right)\,dt.

Passo 5

Parametrização e integral sobre o segmento C_2 (reta de (\pi,0) a (0,0), isto é, ao longo do eixo x com y=0):
  • Parametrização simples: usar x=u, y=0 com u variando de \pi a 0:
\mathbf{r}_2(u)=(u,0),\qquad u\in[\pi,0].
(Escolhemos os limites nessa ordem porque o sentido é de (\pi,0) para (0,0).)
  • Derivadas:
x'(u)=1,\qquad y'(u)=0.
  • Em y=0 temos \sqrt{y}=0. Então
F\cdot d\mathbf{r}=(\sqrt{u}+3\cdot 0)\cdot 1\,du+(2u+0)\cdot 0\,du=\sqrt{u}\,du.
Portanto o trabalho em C_2 é
W_2=\int_{\pi}^{0}\sqrt{u}\,du = -\int_{0}^{\pi}\sqrt{x}\,dx.
(Usei uma mudança de letra para clareza; é a mesma integral de 0 a \pi com sinal trocado.)

Passo 6

Somar as duas contribuições e simplificar:
W = W_1 + W_2
=\int_{0}^{\pi}\left(\sqrt{t}+3\sin t+(2t+\sqrt{\sin t})\cos t\right)\,dt \;-\;\int_{0}^{\pi}\sqrt{x}\,dx.
Note que \int_{0}^{\pi}\sqrt{t}\,dt aparece com sinal positivo em W_1 e com sinal negativo em W_2; essas duas cancelam exatamente. Assim sobra
W=\int_{0}^{\pi}\left(3\sin t+(2t+\sqrt{\sin t})\cos t\right)\,dt.
Separe em três integrais para calcular claramente:
W=3\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt \;+\;2\int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt \;+\;\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin t}\cos t\,dt.

Passo 7

Calcular cada integral passo a passo.
  1. Primeira integral:
3\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt = 3\big[-\cos t\big]_{0}^{\pi} = 3\big(-\cos\pi +\cos 0\big)=3( -(-1)+1)=3\cdot 2=6.
  1. Segunda integral (integração por partes). Use \displaystyle \int t\cos t\,dt.
  • Escolha u=t e dv=\cos t\,dt. Então du=dt e v=\sin t.
  • Assim
\int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt = \big[t\sin t\big]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}\sin t\,dt.
Avaliar os termos:
\big[t\sin t\big]_{0}^{\pi} = \pi\sin\pi - 0\cdot\sin 0 = 0,
e
\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt = 2.
Logo
\int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt = 0 - 2 = -2.
Multiplicando por 2 (lembrando o fator na expressão original):
2\int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt = 2(-2) = -4.
  1. Terceira integral (substituição direta):
\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin t}\cos t\,dt.
Faça a substituição \,u=\sin t. Então du=\cos t\,dt. Quando t=0, u=0. Quando t=\pi, u=0 também. Então
\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin t}\cos t\,dt = \int_{u=0}^{u=0}\sqrt{u}\,du = 0.
(Observação didática: embora \sin t suba e depois desça no intervalo, a substituição du=\cos t\,dt é válida e o resultado final é a integral de uma primitiva avaliada entre os mesmos extremos, portanto zero.)

Passo 8

Somar os resultados:
W = 6 + (-4) + 0 = 2.
Unidade: trabalho em joules, então 2\\ \text{J} ou 2\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 9

Esboço da curva e da região (instrução prática para desenhar na prova):
  • A curva y=\sin x para x\in[0,\pi] é o clássico arco que começa em (0,0), atinge o máximo y=1 em x=\pi/2 e volta a y=0 em x=\pi. Desenhe o eixo x com marcas em 0,\pi/2,\pi e uma crista em y=1.
  • O segmento reto de (\pi,0) a (0,0) é simplesmente o eixo x entre \pi e 0.
  • A região delimitada por C é a região sob a curva y=\sin x e acima do eixo x, do x=0 ao x=\pi — a típica “barriga” da função seno no primeiro período. Indique a orientação usada: C_1 indo da esquerda para a direita sobre a crista, depois C_2 voltando pela base.

Resposta

2\\ \text{J}

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