Calcule
, onde
e
é a curva parametrizada por
.
(Sugestão:Verifique se
é conservativo.)
(Sugestão:Verifique se
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde foram dadas as seguintes informações:
- O campo vetorial
é . - A curva
é parametrizada por
- O enunciado sugere verificar se
é conservativo (isto é, se existe uma função potencial tal que ).
Portanto, a tarefa é calcular a integral de linha de
ao longo de
, possivelmente usando que
é conservativo para simplificar o cálculo.
Passo 2
Explicar o que significa ser conservativo e como verificar de forma prática.
- Um campo vetorial
é conservativo (em um domínio simplesmente conexo) se existe uma função tal que
- Uma condição prática necessária (e suficiente em domínios simplesmente conexos como
) é a igualdade das derivadas cruzadas:
Isto vem de igualar
(derivadas mistas iguais).
Aplicando ao nosso campo: identifiquemos
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a condição é satisfeita. O domínio natural do campo é todo
, que é simplesmente conexo, portanto existe uma função potencial
com
. Isso nos permite usar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente: a integral de linha entre dois pontos depende só dos pontos finais.
Passo 3
Encontrar a função potencial
.
Partimos de
. Integramos essa igualdade em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Agora impomos
. Calculamos
a partir da expressão anterior:
Igualando a
:
Integramos
em relação a
:
onde
é constante absoluta (não importa para diferenças de potencial). Logo uma função potencial conveniente é
Para os cálculos da integral de linha podemos desprezar
.
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental para campos gradiente.
Se
e
é uma curva que vai do ponto
ao ponto
, então
Portanto podemos calcular a integral avaliando
apenas nos pontos iniciais e finais da parametrização de
.
Passo 5
Calcular os pontos iniciais e finais
e
e avaliar
.
Da parametrização:
Para
:
logo
.
Para
:
logo
.
Agora avaliamos
(usar
pois cancela na diferença):
Passo 6
Calcular a integral pela diferença de potenciais.
Pelo passo anterior,