Calcule \int_{C} F . d r, onde F(x, y)=\left(y^{2}+3\right) \mathbf{i}+\left(2 x y-3 y^{2}\right) \mathbf{j} e C é a curva parametrizada por r(t)=\left(t+\cos \left(\frac{\pi t}{2}\right)\right) \mathbf{i}+\left(t+\operatorname{sen}\left(\frac{\pi t}{2}\right)\right) \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 1.
(Sugestão:Verifique se F é conservativo.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{C} F\cdot d r, onde foram dadas as seguintes informações:
  • O campo vetorial F é F(x,y)=\big(y^{2}+3\big)\,\mathbf{i}+\big(2xy-3y^{2}\big)\,\mathbf{j}.
  • A curva C é parametrizada por
r(t)=\big(t+\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big)\,\mathbf{i}+\big(t+\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big)\,\mathbf{j},\qquad 0\le t\le 1.
  • O enunciado sugere verificar se F é conservativo (isto é, se existe uma função potencial \varphi tal que F=\nabla\varphi).
Portanto, a tarefa é calcular a integral de linha de F ao longo de C, possivelmente usando que F é conservativo para simplificar o cálculo.

Passo 2

Explicar o que significa ser conservativo e como verificar de forma prática.
  • Um campo vetorial F(x,y)=P(x,y)\,\mathbf{i}+Q(x,y)\,\mathbf{j} é conservativo (em um domínio simplesmente conexo) se existe uma função \varphi(x,y) tal que
\varphi_x(x,y)=P(x,y),\qquad \varphi_y(x,y)=Q(x,y).
  • Uma condição prática necessária (e suficiente em domínios simplesmente conexos como \mathbb{R}^2) é a igualdade das derivadas cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Isto vem de igualar \varphi_{xy}=\varphi_{yx} (derivadas mistas iguais).
Aplicando ao nosso campo: identifiquemos
P(x,y)=y^{2}+3,\qquad Q(x,y)=2xy-3y^{2}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}+3\big)=2y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2xy-3y^{2}\big)=2y.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=2y, a condição é satisfeita. O domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, portanto existe uma função potencial \varphi com F=\nabla\varphi. Isso nos permite usar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente: a integral de linha entre dois pontos depende só dos pontos finais.

Passo 3

Encontrar a função potencial \varphi(x,y).
Partimos de \varphi_x(x,y)=P(x,y)=y^{2}+3. Integramos essa igualdade em relação a x (tratando y como constante):
\varphi(x,y)=\int (y^{2}+3)\,dx = x(y^{2}+3)+g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).
Agora impomos \varphi_y(x,y)=Q(x,y)=2xy-3y^{2}. Calculamos \varphi_y a partir da expressão anterior:
\varphi_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x(y^{2}+3)+g(y)\big)=2xy+g'(y).
Igualando a Q:
2xy+g'(y)=2xy-3y^{2}\quad\Rightarrow\quad g'(y)=-3y^{2}.
Integramos g'(y) em relação a y:
g(y)=\int -3y^{2}\,dy = -y^{3}+C,
onde C é constante absoluta (não importa para diferenças de potencial). Logo uma função potencial conveniente é
\varphi(x,y)=xy^{2}+3x - y^{3} + C.
Para os cálculos da integral de linha podemos desprezar C.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental para campos gradiente.
Se F=\nabla\varphi e C é uma curva que vai do ponto A=r(0) ao ponto B=r(1), então
\int_{C} F\cdot d r = \varphi\big(r(1)\big)-\varphi\big(r(0)\big).
Portanto podemos calcular a integral avaliando \varphi apenas nos pontos iniciais e finais da parametrização de C.

Passo 5

Calcular os pontos iniciais e finais r(0) e r(1) e avaliar \varphi.
Da parametrização:
x(t)=t+\cos\!\big(\tfrac{\pi t}{2}\big),\qquad y(t)=t+\sin\!\big(\tfrac{\pi t}{2}\big).
Para t=0:
x(0)=0+\cos 0 = 1,\qquad y(0)=0+\sin 0 = 0,
logo r(0)=(1,0).
Para t=1:
x(1)=1+\cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1+0=1,\qquad y(1)=1+\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1+1=2,
logo r(1)=(1,2).
Agora avaliamos \varphi (usar C=0 pois cancela na diferença):
\varphi(1,2)=1\cdot 2^{2}+3\cdot 1 - 2^{3}=4+3-8=-1,
\varphi(1,0)=1\cdot 0^{2}+3\cdot 1 - 0^{3}=3.

Passo 6

Calcular a integral pela diferença de potenciais.
Pelo passo anterior,
\int_{C} F\cdot d r = \varphi(1,2)-\varphi(1,0) = (-1)-3 = -4.

Resposta

-4

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