Mostre que
, onde
e
são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a
.
e
é o círculo centrado na origem de raio 2 .
Passo 1
O enunciado dá a função
e a curva
que é o círculo centrado na origem de raio
. O pedido é mostrar que
Informações relevantes que o enunciado fornece (retiradas diretamente da
):
- Os polos de
são e (soluções de ). - Como
e , ambos os polos e estão no interior do círculo . - A orientação usual é a positiva (contra-horária) do contorno
— é isso que se presume quando não é indicado outro sentido.
Passo 2
Escolha do método: há duas maneiras simples e equivalentes aqui.
- Usar a decomposição em frações parciais e então aplicar a fórmula integral de Cauchy para funções da forma
. - Usar diretamente o teorema dos resíduos: calcular as residências em
e e somá-las.
Vou usar a decomposição em frações parciais (método elementar) e em seguida usar a fórmula de Cauchy
quando
é analítica no interior de
. Essa escolha é prática porque a integral de
é um resultado básico e a decomposição torna a conta direta.
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais de
.
Começa-se escrevendo
Multiplicando por
obtemos
Escolhendo
dá
. Escolhendo
dá
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Escrever a integral em função das duas integrais simples:
Agora vamos calcular separadamente
e
.
Passo 5
Aplicar a fórmula de Cauchy para
. A fórmula diz que, se
é analítica no interior e na fronteira de
e
está no interior de
, então
Tomando
(que é analítica em todo lugar) e
, e lembrando que
está dentro de
, vem
De modo análogo, com
(também interior a
),
(Alternativamente, vê‑se que cada integral corresponde a
porque cada uma tem um polo simples dentro do contorno com residuio
.)
Passo 6
Voltar à expressão da integral total:
Resposta
0