Mostre que \oint_{C} f(z) d z=0, onde f e C são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a -\pi \leq \theta<\pi.
f(z)=\frac{1}{z^{2}-1} e C é o círculo centrado na origem de raio 2 .

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(z)=\frac{1}{z^{2}-1} e a curva C que é o círculo centrado na origem de raio 2. O pedido é mostrar que
\oint_{C} f(z)\,dz = 0.
Informações relevantes que o enunciado fornece (retiradas diretamente da f):
  • Os polos de f são z=1 e z=-1 (soluções de z^{2}-1=0).
  • Como |1|=1<2 e |-1|=1<2, ambos os polos z=1 e z=-1 estão no interior do círculo C.
  • A orientação usual é a positiva (contra-horária) do contorno C — é isso que se presume quando não é indicado outro sentido.

Passo 2

Escolha do método: há duas maneiras simples e equivalentes aqui.
  • Usar a decomposição em frações parciais e então aplicar a fórmula integral de Cauchy para funções da forma \dfrac{1}{z-a}.
  • Usar diretamente o teorema dos resíduos: calcular as residências em z=1 e z=-1 e somá-las.
Vou usar a decomposição em frações parciais (método elementar) e em seguida usar a fórmula de Cauchy \displaystyle \oint_{C}\frac{g(z)}{z-a}\,dz=2\pi i\,g(a) quando g é analítica no interior de C. Essa escolha é prática porque a integral de \dfrac{1}{z-a} é um resultado básico e a decomposição torna a conta direta.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais de \displaystyle \frac{1}{z^{2}-1}.
Começa-se escrevendo
\frac{1}{z^{2}-1}=\frac{1}{(z-1)(z+1)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+1}.
Multiplicando por (z-1)(z+1) obtemos
1 = A(z+1)+B(z-1).
Escolhendo z=1 1 = A(2)\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}. Escolhendo z=-1 1 = B(-2)\Rightarrow B=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
\frac{1}{z^{2}-1}=\frac{1}{2}\,\frac{1}{z-1}-\frac{1}{2}\,\frac{1}{z+1}.

Passo 4

Escrever a integral em função das duas integrais simples:
\oint_{C}\frac{1}{z^{2}-1}\,dz =\frac{1}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-1}\,dz-\frac{1}{2}\oint_{C}\frac{1}{z+1}\,dz.
Agora vamos calcular separadamente \displaystyle \oint_{C}\frac{1}{z-1}\,dz e \displaystyle \oint_{C}\frac{1}{z+1}\,dz.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Cauchy para \displaystyle g(z)\equiv 1. A fórmula diz que, se g é analítica no interior e na fronteira de C e a está no interior de C, então
\oint_{C}\frac{g(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\,g(a).
Tomando g(z)=1 (que é analítica em todo lugar) e a=1, e lembrando que 1 está dentro de C, vem
\oint_{C}\frac{1}{z-1}\,dz = 2\pi i.
De modo análogo, com a=-1 (também interior a C),
\oint_{C}\frac{1}{z+1}\,dz = 2\pi i.
(Alternativamente, vê‑se que cada integral corresponde a 2\pi i porque cada uma tem um polo simples dentro do contorno com residuio 1.)

Passo 6

Voltar à expressão da integral total:
\oint_{C}\frac{1}{z^{2}-1}\,dz =\frac{1}{2}\bigl(2\pi i\bigr)-\frac{1}{2}\bigl(2\pi i\bigr) =\frac{1}{2}\,2\pi i - \frac{1}{2}\,2\pi i = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados