Calcule
:
e
é o segmento de reta que liga os pontos
e
seguido pelo segmento de reta que liga os pontos
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
onde está dado:
.
O caminho é composto por dois segmentos de reta, na ordem:
O caminho
- segmento de
até ; - segmento de
até .
Portanto precisamos somar a contribuição de cada segmento, respeitando a orientação dada.
Passo 2
Definição e observação útil: para um campo
a integral de linha é
Aqui
e
. Vou checar rapidamente se
é conservativo (isso às vezes evita trabalho): calculemos
Como
o campo não é conservativo, então não existe potencial simples para usar e devemos calcular as integrais em cada segmento explicitamente.
Passo 3
Segmento 1: de
até
.
Uma parametrização simples é, para ,
Uma parametrização simples é, para
Daí
No integrando
temos
porque
. Então a contribuição do segmento 1 é
Calculemos de forma mais direta trocando para integral em
: como
é constante e o caminho vai de
para
,
Portanto a contribuição do primeiro segmento é
.
Passo 4
Segmento 2: de
até
.
Parametrização para :
Parametrização para
Então
Agora substituímos em
:
Multiplicando por
e
:
Somando,
porque
.
A contribuição do segundo segmento é então
A contribuição do segundo segmento é então
Integramos termo a termo:
Somando essas parcelas:
Colocando em denominador comum
:
logo a soma é
Portanto a contribuição do segundo segmento é
.
Passo 5
Somando as contribuições dos dois segmentos:
Colocando em denominador comum
:
então