Calcule \int_{C}\langle\vec{F}, d \vec{l}\rangle :
\vec{F}(x, y)=\left(x^{2}, y^{2}-x\right) e C é o segmento de reta que liga os pontos (2,4) e (0,4) seguido pelo segmento de reta que liga os pontos (0,4) e (3,-1).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \int_{C}\langle\vec{F}, d\vec{l}\rangle onde está dado:
\vec{F}(x,y)=\bigl(x^{2},\,y^{2}-x\bigr).
O caminho C é composto por dois segmentos de reta, na ordem:
  1. segmento de (2,4) até (0,4);
  2. segmento de (0,4) até (3,-1).
    Portanto precisamos somar a contribuição de cada segmento, respeitando a orientação dada.

Passo 2

Definição e observação útil: para um campo \vec{F}=(P,Q) a integral de linha é
\int_{C}\langle\vec{F},d\vec{l}\rangle=\int_{C}P\,dx+Q\,dy.
Aqui P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=y^{2}-x. Vou checar rapidamente se \vec{F} é conservativo (isso às vezes evita trabalho): calculemos
\frac{\partial P}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=-1.
Como \frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x} o campo não é conservativo, então não existe potencial simples para usar e devemos calcular as integrais em cada segmento explicitamente.

Passo 3

Segmento 1: de (2,4) até (0,4).
Uma parametrização simples é, para t\in[0,1],
\vec{r}_{1}(t)=(x(t),y(t))=(2-2t,\;4).
Daí
dx=-2\,dt,\qquad dy=0.
No integrando P\,dx+Q\,dy temos Q\,dy=0 porque dy=0. Então a contribuição do segmento 1 é
\int_{C_{1}}P\,dx+Q\,dy=\int_{t=0}^{1} x(t)^{2}\,dx =\int_{0}^{1}(2-2t)^{2}(-2)\,dt.
Calculemos de forma mais direta trocando para integral em x: como y é constante e o caminho vai de x=2 para x=0,
\int_{C_{1}}x^{2}\,dx=\int_{x=2}^{x=0}x^{2}\,dx=\\\ -\int_{0}^{2}x^{2}\,dx =-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=-\frac{8}{3}.
Portanto a contribuição do primeiro segmento é -\dfrac{8}{3}.

Passo 4

Segmento 2: de (0,4) até (3,-1).
Parametrização para t\in[0,1]:
\vec{r}_{2}(t)=(x(t),y(t))=(3t,\;4-5t).
Então
dx=3\,dt,\qquad dy=-5\,dt.
Agora substituímos em P\,dx+Q\,dy:
P(x(t),y(t))=x(t)^{2}=(3t)^{2}=9t^{2},
Q(x(t),y(t))=y(t)^{2}-x(t)=(4-5t)^{2}-3t=16-40t+25t^{2}-3t=16-43t+25t^{2}.
Multiplicando por dx e dy:
P\,dx=9t^{2}\cdot 3\,dt=27t^{2}\,dt,
Q\,dy=(16-43t+25t^{2})(-5)\,dt=-80+215t-125t^{2}\,dt.
Somando,
\bigl(P\,dx+Q\,dy\bigr)=\bigl(-80+215t-98t^{2}\bigr)\,dt,
porque 27t^{2}-125t^{2}=-98t^{2}.
A contribuição do segundo segmento é então
\int_{C_{2}}P\,dx+Q\,dy=\int_{0}^{1}\bigl(-80+215t-98t^{2}\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}-80\,dt=-80,
\int_{0}^{1}215t\,dt=\frac{215}{2},
\int_{0}^{1}-98t^{2}\,dt=-98\cdot\frac{1}{3}=-\frac{98}{3}.
Somando essas parcelas:
-80+\frac{215}{2}-\frac{98}{3}.
Colocando em denominador comum 6:
-80=-\frac{480}{6},\qquad \frac{215}{2}=\frac{645}{6},\qquad -\frac{98}{3}=-\frac{196}{6},
logo a soma é
\frac{-480+645-196}{6}=\frac{-31}{6}.
Portanto a contribuição do segundo segmento é -\dfrac{31}{6}.

Passo 5

Somando as contribuições dos dois segmentos:
\int_{C}\langle\vec{F},d\vec{l}\rangle =\int_{C_{1}}+\int_{C_{2}} =-\frac{8}{3}-\frac{31}{6}.
Colocando em denominador comum 6:
-\frac{8}{3}=-\frac{16}{6},
então
-\frac{16}{6}-\frac{31}{6}=-\frac{47}{6}.

Resposta

-\dfrac{47}{6}

Exercícios relacionados