Calcule \int_{C}\langle\vec{F}, d \vec{l}\rangle :
\vec{F}(x, y, z)=\left(3 x-3 y, y^{3}-10, y z\right) e C é o segmento de reta liga os pontos (1,4,-2) e (3,4,6).

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha \int_{C}\langle\vec{F},d\vec{l}\rangle, onde a campo vetorial e os pontos finais do caminho são dados. Informações fornecidas pelo enunciado:
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(3x-3y,\;y^{3}-10,\;yz\bigr).
O caminho C é o segmento de reta que liga os pontos (1,4,-2) e (3,4,6).
Pergunta: calcular \displaystyle \int_{C}\langle\vec{F},d\vec{l}\rangle.

Passo 2

Vamos parameterizar o segmento de reta de forma padrão. Para um segmento que vai de P_0 a P_1 usamos
\vec{r}(t)=\vec{P_0}+t(\vec{P_1}-\vec{P_0}),\quad t\in[0,1],
pois quando t=0 estamos em \vec{P_0} e quando t=1 estamos em \vec{P_1}. Aqui \vec{P_0}=(1,4,-2) e \vec{P_1}=(3,4,6). Primeiro calculamos o vetor direção:
\vec{P_1}-\vec{P_0}=(3-1,\;4-4,\;6-(-2))=(2,0,8).
Portanto a parametrização é
\vec{r}(t)=\bigl(1+2t,\;4,\;-2+8t\bigr),\quad t\in[0,1].
A derivada (vetor velocidade) é
\vec{r}\,'(t)=\bigl(2,\;0,\;8\bigr).

Passo 3

Recordando a fórmula prática: a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada por \vec{r}(t), t\in[a,b], é
\int_C \langle\vec{F},d\vec{l}\rangle = \int_a^b \vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui \cdot é o produto escalar entre vetores: para vetores (A_1,A_2,A_3) e (B_1,B_2,B_3) temos (A_1,A_2,A_3)\cdot(B_1,B_2,B_3)=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3. Nosso intervalo é t\in[0,1].

Passo 4

Agora avaliamos \vec{F} ao longo da parametrização, isto é \vec{F}(\vec{r}(t)). Substituímos x=1+2t, y=4, z=-2+8t nas três componentes de \vec{F}.
Primeira componente:
3x-3y = 3(1+2t)-3(4)=3+6t-12=-9+6t.
Segunda componente:
y^{3}-10 = 4^{3}-10=64-10=54.
Terceira componente:
yz = 4\cdot(-2+8t) = -8+32t.
Logo
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=\bigl(-9+6t,\;54,\;-8+32t\bigr).

Passo 5

Calculamos o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t). Usamos \vec{r}\,'(t)=(2,0,8), então
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=(-9+6t)\cdot 2 + 54\cdot 0 + (-8+32t)\cdot 8.
Fazendo as multiplicações:
(-9+6t)\cdot 2 = -18 + 12t,
(-8+32t)\cdot 8 = -64 + 256t.
Somando:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=(-18-64) + (12t+256t) = -82 + 268t.

Passo 6

Agora integramos no intervalo t\in[0,1]:
\int_{C}\langle\vec{F},d\vec{l}\rangle = \int_0^1 \bigl(-82 + 268t\bigr)\,dt.
Encontramos a primitiva: uma antiderivada de -82+268t é -82t + 134t^{2} (porque \frac{d}{dt}(134t^{2})=268t). Avaliando de 0 a 1:
\left[-82t + 134t^{2}\right]_{0}^{1} = \bigl(-82\cdot 1 + 134\cdot 1^{2}\bigr) - 0 = -82 + 134 = 52.

Passo 7

Pequena checagem intuitiva: o integrando foi uma função polinomial simples em t, a integral ficou um número real (sem dependência da parametrização além dos pontos finais) e o cálculo não envolveu dificuldades de cálculo simbólico além de multiplicações e integrações básicas. Você conseguiu chegar até aqui — ótimo trabalho!

Resposta

52

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