Calcule
:
e
é o segmento de reta liga os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
, onde a campo vetorial e os pontos finais do caminho são dados. Informações fornecidas pelo enunciado:
.
O caminho é o segmento de reta que liga os pontos
e
.
Pergunta: calcular .
O caminho
Pergunta: calcular
Passo 2
Vamos parameterizar o segmento de reta de forma padrão. Para um segmento que vai de
a
usamos
pois quando
estamos em
e quando
estamos em
. Aqui
e
. Primeiro calculamos o vetor direção:
Portanto a parametrização é
A derivada (vetor velocidade) é
Passo 3
Recordando a fórmula prática: a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada por
,
, é
Aqui
é o produto escalar entre vetores: para vetores
e
temos
. Nosso intervalo é
.
Passo 4
Agora avaliamos
ao longo da parametrização, isto é
. Substituímos
,
,
nas três componentes de
.
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Logo
Passo 5
Calculamos o produto escalar
. Usamos
, então
Fazendo as multiplicações:
Somando:
Passo 6
Agora integramos no intervalo
:
Encontramos a primitiva: uma antiderivada de
é
(porque
). Avaliando de
a
:
Passo 7
Pequena checagem intuitiva: o integrando foi uma função polinomial simples em
, a integral ficou um número real (sem dependência da parametrização além dos pontos finais) e o cálculo não envolveu dificuldades de cálculo simbólico além de multiplicações e integrações básicas. Você conseguiu chegar até aqui — ótimo trabalho!