Calcule \int_{C}\langle\vec{F}, d \vec{l}\rangle :
\vec{F}(x, y, z)=\left(x+z, y^{3}, 1-x\right) e C é parte da espiral sobre o eixo y dada por C(t)=(\cos (2 t),-t, \operatorname{sen}(2 t)) com -\pi \leqslant t \leqslant 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de linha \int_{C}\langle\vec{F}, d \vec{l}\rangle para o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\left(x+z,\;y^{3},\;1-x\right) e a curva C dada pela parametrização
C(t)=(\cos(2t),\;-t,\;\operatorname{sen}(2t)),
com t variando em -\pi\le t\le 2\pi.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O campo vetorial \vec{F} tem componentes \;F_1(x,y,z)=x+z,\;F_2(x,y,z)=y^3,\;F_3(x,y,z)=1-x.
  • A curva C está parametrizada por C(t) com componente x=\cos(2t), y=-t, z=\operatorname{sen}(2t).
  • O intervalo do parâmetro é -\pi\le t\le 2\pi.
A pergunta então é: calcular o valor numérico (exato) da integral de linha \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec l ao longo dessa curva.

Passo 2

Recordando a fórmula prática para calcular integrais de linha de um campo vetorial por parametrização: se C é parametrizada por C(t) para a\le t\le b, então
\int_{C}\langle\vec{F},d\vec l\rangle=\int_{a}^{b}\vec{F}\big(C(t)\big)\cdot C'(t)\,dt.
Explicando cada símbolo:
  • C(t) é a posição ao longo da curva como função do parâmetro t.
  • C'(t) é a derivada componente a componente — o vetor velocidade.
  • \vec{F}\big(C(t)\big) é o campo vetorial avaliado nos pontos da curva.
  • O produto escalar \cdot dá a função que devemos integrar em t.
Vou aplicar exatamente essa fórmula com a=-\pi e b=2\pi.

Passo 3

Calcular C'(t) tomando derivada componente a componente de C(t)=(\cos(2t),\,-t,\;\operatorname{sen}(2t)).
Derivando:
\frac{d}{dt}\cos(2t)=-2\operatorname{sen}(2t),\qquad \frac{d}{dt}(-t)=-1,\qquad \frac{d}{dt}\operatorname{sen}(2t)=2\cos(2t).
Logo
C'(t)=\big(-2\operatorname{sen}(2t),\,-1,\;2\cos(2t)\big).

Passo 4

Avaliar \vec{F} ao longo da curva: substituir x=\cos(2t), y=-t, z=\operatorname{sen}(2t) nas componentes de \vec{F}.
Componentes de \vec{F}\big(C(t)\big):
F_1(\,C(t)\,)=x+z=\cos(2t)+\operatorname{sen}(2t),
F_2(\,C(t)\,)=y^3=(-t)^3=-t^3,
F_3(\,C(t)\,)=1-x=1-\cos(2t).
Portanto
\vec{F}\big(C(t)\big)=\big(\cos(2t)+\operatorname{sen}(2t),\,-t^3,\;1-\cos(2t)\big).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}\big(C(t)\big)\cdot C'(t) multiplicando componente a componente e somando:
\begin{aligned} \vec{F}\big(C(t)\big)\cdot C'(t) &=(\cos(2t)+\operatorname{sen}(2t))\cdot(-2\operatorname{sen}(2t)) \\\ &\quad +(-t^3)\cdot(-1) \\\ &\quad +(1-\cos(2t))\cdot(2\cos(2t)). \end{aligned}
Agora desenvolvo termo a termo:
(\cos(2t)+\operatorname{sen}(2t))(-2\operatorname{sen}(2t))=-2\cos(2t)\operatorname{sen}(2t)-2\operatorname{sen}^2(2t),
(-t^3)(-1)=t^3,
(1-\cos(2t))(2\cos(2t))=2\cos(2t)-2\cos^2(2t).
Somando tudo:
\vec{F}\big(C(t)\big)\cdot C'(t)=t^3-2\cos(2t)\operatorname{sen}(2t)-2\operatorname{sen}^2(2t)+2\cos(2t)-2\cos^2(2t).

Passo 6

Simplificar os termos trigonométricos usando identidades básicas.
Primeiro, usar \operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1. Assim
-2\operatorname{sen}^2(2t)-2\cos^2(2t)=-2\big(\operatorname{sen}^2(2t)+\cos^2(2t)\big)=-2.
Além disso, usar a identidade produto-para-soma
\cos(2t)\operatorname{sen}(2t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(4t).
Então -2\cos(2t)\operatorname{sen}(2t)=-2\cdot\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(4t)=-\operatorname{sen}(4t).
Substituindo essas simplificações na expressão do produto escalar:
\vec{F}\big(C(t)\big)\cdot C'(t)=t^3-2+2\cos(2t)-\operatorname{sen}(4t).

Passo 7

Agora escrevo a integral como soma de integrais mais simples:
\int_{C}\langle\vec{F},d\vec l\rangle=\int_{-\pi}^{2\pi}\big(t^3-2+2\cos(2t)-\operatorname{sen}(4t)\big)\,dt.
Separando:
\int_{-\pi}^{2\pi}t^3\,dt\;+\;\int_{-\pi}^{2\pi}(-2)\,dt\;+\;\int_{-\pi}^{2\pi}2\cos(2t)\,dt\;-\;\int_{-\pi}^{2\pi}\operatorname{sen}(4t)\,dt.

Passo 8

Calcular cada integral separadamente, com explicação:
  1. Para \displaystyle \int_{-\pi}^{2\pi}t^3\,dt, a primitiva é \displaystyle \frac{t^4}{4}. Avaliando:
\left.\frac{t^4}{4}\right|_{-\pi}^{2\pi}=\frac{(2\pi)^4}{4}-\frac{(-\pi)^4}{4}=\frac{16\pi^4}{4}-\frac{\pi^4}{4}=\frac{15\pi^4}{4}.
  1. Para \displaystyle \int_{-\pi}^{2\pi}(-2)\,dt, a primitiva é -2t. Avaliando:
\left.-2t\right|_{-\pi}^{2\pi}=-2(2\pi)-\big(-2(-\pi)\big)=-4\pi-2\pi=-6\pi.
(Nota: eu calculei diretamente o comprimento do intervalo 3\pi vezes -2: -2\cdot 3\pi=-6\pi.)
  1. Para \displaystyle \int_{-\pi}^{2\pi}2\cos(2t)\,dt, a primitiva é \sin(2t) (porque \frac{d}{dt}\sin(2t)=2\cos(2t)). Avaliando:
\left.\sin(2t)\right|_{-\pi}^{2\pi}=\sin(4\pi)-\sin(-2\pi)=0-0=0.
Portanto esse termo contribui zero.
  1. Para \displaystyle \int_{-\pi}^{2\pi}\operatorname{sen}(4t)\,dt, a primitiva de \operatorname{sen}(4t) é -\tfrac{1}{4}\cos(4t) (pois \frac{d}{dt}\cos(4t)=-4\operatorname{sen}(4t)). Assim
\int_{-\pi}^{2\pi}\operatorname{sen}(4t)\,dt=\left.-\tfrac{1}{4}\cos(4t)\right|_{-\pi}^{2\pi}=-\tfrac{1}{4}\big(\cos(8\pi)-\cos(-4\pi)\big).
Sabendo que \cos é 2\pi-periódica, \cos(8\pi)=1 e \cos(-4\pi)=\cos(4\pi)=1. Então a diferença é zero, e esse termo também contribui zero.

Passo 9

Somando as contribuições obtidas:
\int_{C}\langle\vec{F},d\vec l\rangle=\frac{15\pi^4}{4}-6\pi+0-0=\frac{15\pi^4}{4}-6\pi.
Posso, se quiser, deixar assim ou fatorar 3\pi: 3\pi\big(\tfrac{5\pi^3}{4}-2\big). Mas a forma \displaystyle \frac{15\pi^4}{4}-6\pi é clara e exata.

Resposta

\displaystyle \frac{15\pi^4}{4}-6\pi

Exercícios relacionados