Calcule \int_{C}\langle\vec{F}, d \vec{l}\rangle : \vec{F}(x, y, z)=\left(x+z, y^{3}, 1-x\right) e C é parte da espiral sobre o eixo y dada por C(t)=(\cos (2 t),-t, \operatorname{sen}(2 t)) com -\pi \leqslant t \leqslant 2 \pi.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de linha \int_{C}\langle\vec{F}, d \vec{l}\rangle para o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\left(x+z,\;y^{3},\;1-x\right) e a curva C dada pela parametrização
C(t)=(\cos(2t),\;-t,\;\operatorname{sen}(2t)),
com t variando em -\pi\le t\le 2\pi.
Informações relevantes que o enunciado dá:
O campo vetorial \vec{F} tem componentes \;F_1(x,y,z)=x+z,\;F_2(x,y,z)=y^3,\;F_3(x,y,z)=1-x.
A curva C está parametrizada por C(t) com componente x=\cos(2t), y=-t, z=\operatorname{sen}(2t).
O intervalo do parâmetro é -\pi\le t\le 2\pi.
A pergunta então é: calcular o valor numérico (exato) da integral de linha \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec l ao longo dessa curva.
Passo 2
Recordando a fórmula prática para calcular integrais de linha de um campo vetorial por parametrização: se C é parametrizada por C(t) para a\le t\le b, então
Para \displaystyle \int_{-\pi}^{2\pi}\operatorname{sen}(4t)\,dt, a primitiva de \operatorname{sen}(4t) é -\tfrac{1}{4}\cos(4t) (pois \frac{d}{dt}\cos(4t)=-4\operatorname{sen}(4t)). Assim