Calcule \int_{C} x^{2} d x+y^{2} d y+z^{2} d z, onde C consiste no segmento que liga o ponto ( 1,2,3 ) ao ponto ( 5,4,7 ).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy + z^{2}\,dz
onde C é o segmento de reta que liga os pontos (1,2,3) e (5,4,7).
Informações fornecidas:
\text{Ponto inicial: }(1,2,3),\qquad \text{Ponto final: }(5,4,7).
\text{Integrando: }x^{2}\,dx + y^{2}\,dy + z^{2}\,dz.
Não há mais informação; o caminho é o segmento reto entre os dois pontos.

Passo 2

Primeiro passo prático: parametrizar o segmento de reta. A parametrização afim que vai de (1,2,3) a (5,4,7) é
\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (1,2,3) + t\bigl((5,4,7)-(1,2,3)\bigr),
com t\in[0,1].
Calcule o vetor diretor:
(5,4,7)-(1,2,3) = (4,2,4).
Portanto, explicitamente:
x(t)=1+4t,\qquad y(t)=2+2t,\qquad z(t)=3+4t,\qquad t\in[0,1].

Passo 3

Derive cada componente em relação a t para obter dx,dy,dz:
\frac{dx}{dt}=4,\qquad \frac{dy}{dt}=2,\qquad \frac{dz}{dt}=4.
Isto significa
dx=4\,dt,\qquad dy=2\,dt,\qquad dz=4\,dt.

Passo 4

Agora substituímos na integral de linha usando a regra geral: se \mathbf{r}(t) parametriza C, então
\int_{C} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy + z^{2}\,dz = \int_{0}^{1} \bigl(x(t)^{2}x'(t) + y(t)^{2}y'(t) + z(t)^{2}z'(t)\bigr)\,dt.
Observação didática importante (truque que facilita muito): para uma função x(t) vale
\frac{d}{dt}\bigl(x(t)^{3}\bigr)=3x(t)^{2}x'(t).
Portanto
x(t)^{2}x'(t)=\frac{1}{3}\frac{d}{dt}\bigl(x(t)^{3}\bigr),
e análogamente para y e z. Somando,
x^{2}x' + y^{2}y' + z^{2}z' = \frac{1}{3}\frac{d}{dt}\bigl(x^{3}+y^{3}+z^{3}\bigr).
Assim a integral fica
\int_{0}^{1} \frac{1}{3}\frac{d}{dt}\bigl(x(t)^{3}+y(t)^{3}+z(t)^{3}\bigr)\,dt = \frac{1}{3}\Bigl[x(t)^{3}+y(t)^{3}+z(t)^{3}\Bigr]_{t=0}^{t=1}.
(Essa observação mostra também que o integrando é a derivada de uma função potencial, ou seja, o diferencial x^{2}dx+y^{2}dy+z^{2}dz é exato e a integral depende só dos extremos.)

Passo 5

Avalie a expressão nos extremos t=0 (ponto inicial) e t=1 (ponto final).
No início ( t=0):
x(0)=1,\qquad y(0)=2,\qquad z(0)=3,
logo
x(0)^{3}+y(0)^{3}+z(0)^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}=1+8+27=36.
No final ( t=1):
x(1)=5,\qquad y(1)=4,\qquad z(1)=7,
logo
x(1)^{3}+y(1)^{3}+z(1)^{3}=5^{3}+4^{3}+7^{3}=125+64+343=532.
A diferença é 532-36=496. Multiplicando por 1/3 obtemos
\frac{1}{3}\cdot 496=\frac{496}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{496}{3}

Exercícios relacionados