Calcule \int_{C} \nabla f \cdot d \mathbf{r}, onde f(x, y, z)=x y^{2} z+x^{2} e C é a curva dada por x=t^{2}, y=e^{t^{2}-1}, z=t^{2}+t, -1 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \nabla f\cdot d\mathbf{r}
onde f(x,y,z)=x\,y^{2}\,z+x^{2} e C é a curva parametricamente dada por
\mathbf{r}(t) = \bigl(t^{2},\,e^{t^{2}-1},\,t^{2}+t\bigr),\quad -1\le t\le1.
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos (campos gradiente).

Passo 2

Como \nabla f é o gradiente de uma função escalar, o campo é conservativo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo de linhas, vale
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf{r} = f\bigl(\mathbf{r}(1)\bigr)\;-\;f\bigl(\mathbf{r}(-1)\bigr).

Passo 3

Calculemos os pontos extremos da curva:
\mathbf{r}(1) = \bigl(1^{2},\,e^{1-1},\,1^{2}+1\bigr) = (1,1,2),
\mathbf{r}(-1) = \bigl((-1)^{2},\,e^{1-1},\,(-1)^{2}-1\bigr) = (1,1,0).

Passo 4

Avalie f nesses pontos:
f(1,1,2) = 1\cdot1^{2}\cdot2 + 1^{2} = 2 + 1 = 3,
f(1,1,0) = 1\cdot1^{2}\cdot0 + 1^{2} = 0 + 1 = 1.

Resposta

\int_{C} \nabla f\cdot d\mathbf{r} = 3 - 1 = 2.

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