Sejam dados um campo vetorial
e uma curva
. Mostre que
é conservativo e determine:
a)
b)
C:
i) uma função potencial
;
ii) calcule
usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha;
iii) calcule
substituindo, primeiramente,
por um segmento de reta que tenha os mesmos pontos inicial e final.
a)
b)
C:
i) uma função potencial
ii) calcule
iii) calcule
Passo 1
Na parte (a) temos
e a curva dada por
e a curva
Para mostrar que
é conservativo, verificamos se
logo
e
é conservativo.
Para achar uma função potencial satisfazendo
, integramos
Para achar uma função potencial
em relação a
, tratando
como constante:
Então
Podemos escolher a constante zero e ficamos com
Passo 2
Usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
Em
:
, em
:
.
Logo
Logo
Passo 3
Agora substituímos
por um segmento de reta de
a
, parametricamente
Então
e
coerente com o resultado anterior.
Passo 4
Na parte (b) temos
e a curva dada por
e a curva
Verificamos
logo
e
é conservativo.
Para achar resolvemos
Para achar
Como
deve ser
, segue
.
Portanto podemos tomar
Portanto podemos tomar
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental, precisamos dos pontos inicial e final de
.
Para :
.
Para :
.
Então
Para
Para
Então
Passo 6
No segmento de reta de
a
use
Então
Fazendo
,
,
Resposta
(a)
i) .
ii)
iii) Pela reta, (b)
i)
ii)
iii) Pela reta,
i)
ii)
iii) Pela reta,
i)
ii)
iii) Pela reta,