Sejam dados um campo vetorial vec{F} e uma curva C. Mostre que vec{F} é conservativo e determine:
a) \vec{F}(x, y)=\left(\operatorname{sen} y+e^{x}, x \cos y\right)
C: x=t ; y=t(3-t), 0 \leq t \leq 3
b) \vec{F}(x, y)=\left(y e^{x y}, x e^{x y}\right)
C: x=\operatorname{sen} \frac{\pi}{2} t ; y=e^{t-1}(1-\cos \pi t), 0 \leq t \leq 1
i) uma função potencial f;
ii) calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha;
iii) calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} substituindo, primeiramente, C por um segmento de reta que tenha os mesmos pontos inicial e final.

Passo 1

Na parte (a) temos \displaystyle \vec F(x,y)=\bigl(\sin y + e^x,\;x\cos y\bigr)
e a curva C dada por
x(t)=t,\quad y(t)=t(3-t),\quad 0\le t\le3.
Para mostrar que \vec F é conservativo, verificamos se
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\sin y + e^x\bigr] =\cos y \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\cos y\bigr] =\cos y,
logo \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e \vec F é conservativo.
Para achar uma função potencial f satisfazendo \nabla f=\vec F, integramos
\frac{\partial f}{\partial x}=\sin y + e^x
em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y)=\int(\sin y + e^x)\,dx =x\sin y + e^x + g(y).
Então
\frac{\partial f}{\partial y} = x\cos y + g'(y) \stackrel!=x\cos y \implies g'(y)=0\implies g(y)=\text{const}.
Podemos escolher a constante zero e ficamos com
f(x,y)=e^x + x\sin y.

Passo 2

Usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
\int_C\vec F\cdot d\vec r =f\bigl(x(3),y(3)\bigr)\;-\;f\bigl(x(0),y(0)\bigr).
Em t=0: (x,y)=(0,0), em t=3: (x,y)=(3,0).
Logo
f(3,0)=e^3+3\sin0=e^3,\quad f(0,0)=e^0+0=1,
\int_C\vec F\cdot d\vec r =e^3-1.

Passo 3

Agora substituímos C por um segmento de reta de (0,0) a (3,0), parametricamente
r(s)=(s,0),\quad 0\le s\le3,\quad dr=(ds,0).
Então
\vec F(r(s))\cdot dr =\bigl(\sin0+e^s,\;s\cos0\bigr)\cdot(ds,0) =e^s\,ds
e
\int_0^3 e^s\,ds=e^3-1,
coerente com o resultado anterior.

Passo 4

Na parte (b) temos \displaystyle \vec F(x,y)=\bigl(y\,e^{xy},\;x\,e^{xy}\bigr)
e a curva C dada por
x(t)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}t\bigr), \quad y(t)=e^{t-1}\bigl(1-\cos\pi t\bigr), \quad 0\le t\le1.
Verificamos
\frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy}) =e^{xy}+xy\,e^{xy}, \quad \frac{\partial}{\partial x}(x e^{xy}) =e^{xy}+xy\,e^{xy},
logo \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e \vec F é conservativo.
Para achar f resolvemos
\frac{\partial f}{\partial x}=y e^{xy} \implies f(x,y)=\int y e^{xy}\,dx=e^{xy}+h(y).
Como \partial f/\partial y=x e^{xy}+h'(y) deve ser x e^{xy}, segue h'(y)=0.
Portanto podemos tomar
f(x,y)=e^{xy}.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental, precisamos dos pontos inicial e final de C.
Para t=0: (x,y)=(0,0).
Para t=1: (x,y)=(1,2).
Então
\int_C\vec F\cdot d\vec r =f(1,2)-f(0,0) =e^{1\cdot2}-e^{0\cdot0} =e^2-1.

Passo 6

No segmento de reta de (0,0) a (1,2) use
r(s)=(s,2s),\quad 0\le s\le1,\quad dr=(ds,2\,ds).
Então
\vec F(r(s))\cdot dr =\bigl(2s\,e^{2s^2},\;s\,e^{2s^2}\bigr)\cdot(ds,2\,ds) =(2s+2s)e^{2s^2}\,ds =4s\,e^{2s^2}\,ds.
Fazendo u=2s^2, du=4s\,ds,
\int_0^1 4s\,e^{2s^2}\,ds =\int_0^2 e^u\,du =e^2-1.

Resposta

(a)
i) f(x,y)=e^x + x\sin y.
ii) \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r = e^3 - 1.
iii) Pela reta, \displaystyle\int_{\text{segmento}}\vec F\cdot d\vec r = e^3 - 1. (b)
i) f(x,y)=e^{xy}.
ii) \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r = e^2 - 1.
iii) Pela reta, \displaystyle\int_{\text{segmento}}\vec F\cdot d\vec r = e^2 - 1.

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