1. Calcule \int_{C} \nabla f \cdot d \mathbf{r}, onde f(x, y, z)=x y^{2} z+x^{2} e C é a curva dada por x=t^{2}, y=e^{t^{2}-1}, z=t^{2}+t,-1 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \displaystyle \int_{C} \nabla f\cdot d\mathbf{r}, onde são dadas as seguintes informações:
  • A função escalar é f(x,y,z)=x y^{2} z + x^{2}.
  • A curva C está parametrizada por
\mathbf{r}(t) = \big(t^{2},\, e^{t^{2}-1},\, t^{2}+t\big),\qquad -1\le t\le 1.
  • A integral a calcular é a integral de linha do campo vetorial \nabla f ao longo de C.
Nada mais foi pedido além de calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro uma aula curtinha e essencial: se eu tenho uma função escalar f e uma curva parametrizada \mathbf{r}(t), a regra da cadeia diz que a derivada temporal da composição f(\mathbf{r}(t)) é igual ao produto escalar entre o gradiente de f avaliado em \mathbf{r}(t) e a derivada da curva:
\frac{d}{dt}\big(f(\mathbf{r}(t))\big) = \nabla f(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t).
Isto é importante porque integrais de linha do tipo \int_C \nabla f\cdot d\mathbf{r} podem ser transformadas em integrais de uma derivada: se eu integrar ambos os lados em t de a a b,
\int_{a}^{b} \nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\, dt = \int_{a}^{b} \frac{d}{dt}\big(f(\mathbf{r}(t))\big)\, dt = f(\mathbf{r}(b)) - f(\mathbf{r}(a)).
Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente (às vezes chamado de “teorema da linha para campos conservativos”). Em palavras: a integral da derivada total dá a diferença dos valores finais e iniciais.

Passo 3

Para aplicar isso preciso das expressões de \mathbf{r}'(t). Derivo componente a componente (uso a regra da derivada de potência e a regra da cadeia para a exponencial):
  • x(t)=t^{2} então x'(t)=2t.
  • y(t)=e^{t^{2}-1} então usando a regra da cadeia y'(t)=e^{t^{2}-1}\cdot 2t.
  • z(t)=t^{2}+t então z'(t)=2t+1.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\big(2t,\; 2t\,e^{t^{2}-1},\; 2t+1\big).

Passo 4

Também é útil escrever o gradiente de f em forma simbólica para entender a identidade da regra da cadeia. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z) = \Big(\frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y},\; \frac{\partial f}{\partial z}\Big).
Calculo as parciais de f(x,y,z)=x y^{2} z + x^{2}:
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} z + 2x. (Derive x y^{2} z em relação a x como y^{2} z; derive x^{2} como 2x.)
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y z. (Derive x y^{2} z em relação a y usando potência e produto.)
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} = x y^{2}. (Derive x y^{2} z em relação a z.)
Logo
\nabla f(x,y,z)=\big(y^{2} z + 2x,\; 2 x y z,\; x y^{2}\big).
Se eu substituísse \mathbf{r}(t) aí e fizesse o produto escalar com \mathbf{r}'(t), obteria exatamente \dfrac{d}{dt} f(\mathbf{r}(t)) por aplicação da regra da cadeia — é a mesma identidade que citei no Passo 2. Por isso posso usar diretamente a forma integral da derivada total.

Passo 5

Pelo teorema (Passo 2), a integral pedida é
\int_{C} \nabla f\cdot d\mathbf{r} \;=\; f\big(\mathbf{r}(1)\big) - f\big(\mathbf{r}(-1)\big),
pois o parâmetro t vai de -1 a 1.
Agora eu só preciso avaliar f nos pontos finais \mathbf{r}(1) e \mathbf{r}(-1).

Passo 6

Calculo os pontos finais usando a parametrização (estou pegando esses valores da parametrização dada no enunciado):
  • Para t=1:
\mathbf{r}(1) = \big(1^{2},\, e^{1^{2}-1},\, 1^{2}+1\big) = \big(1,\; e^{0},\; 2\big) = (1,1,2).
  • Para t=-1:
\mathbf{r}(-1) = \big((-1)^{2},\, e^{(-1)^{2}-1},\, (-1)^{2}+(-1)\big) = \big(1,\; e^{0},\; 1-1\big) = (1,1,0).

Passo 7

Avalio f nesses dois pontos:
  • Em \mathbf{r}(1)=(1,1,2):
f(1,1,2) = x y^{2} z + x^{2} = 1\cdot 1^{2}\cdot 2 + 1^{2} = 2 + 1 = 3.
  • Em \mathbf{r}(-1)=(1,1,0):
f(1,1,0) = 1\cdot 1^{2}\cdot 0 + 1^{2} = 0 + 1 = 1.

Passo 8

Portanto, pela relação do Passo 5,
\int_{C} \nabla f\cdot d\mathbf{r} = f(\mathbf{r}(1)) - f(\mathbf{r}(-1)) = 3 - 1 = 2.
Força aí — deu uma conta curta graças ao fato do integrando ser exatamente um gradiente!

Resposta

2

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