- Calcule
, onde
e
é a curva dada por
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
, onde são dadas as seguintes informações:
- A função escalar é
. - A curva
está parametrizada por
- A integral a calcular é a integral de linha do campo vetorial
ao longo de .
Nada mais foi pedido além de calcular essa integral.
Passo 2
Primeiro uma aula curtinha e essencial: se eu tenho uma função escalar
e uma curva parametrizada
, a regra da cadeia diz que a derivada temporal da composição
é igual ao produto escalar entre o gradiente de
avaliado em
e a derivada da curva:
Isto é importante porque integrais de linha do tipo
podem ser transformadas em integrais de uma derivada: se eu integrar ambos os lados em
de
a
,
Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente (às vezes chamado de “teorema da linha para campos conservativos”). Em palavras: a integral da derivada total dá a diferença dos valores finais e iniciais.
Passo 3
Para aplicar isso preciso das expressões de
. Derivo componente a componente (uso a regra da derivada de potência e a regra da cadeia para a exponencial):
-
então . -
então usando a regra da cadeia . -
então .
Portanto
Passo 4
Também é útil escrever o gradiente de
em forma simbólica para entender a identidade da regra da cadeia. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Calculo as parciais de
:
-
. (Derive em relação a como ; derive como .) -
. (Derive em relação a usando potência e produto.) -
. (Derive em relação a .)
Logo
Se eu substituísse
aí e fizesse o produto escalar com
, obteria exatamente
por aplicação da regra da cadeia — é a mesma identidade que citei no Passo 2. Por isso posso usar diretamente a forma integral da derivada total.
Passo 5
Pelo teorema (Passo 2), a integral pedida é
pois o parâmetro
vai de
a
.
Agora eu só preciso avaliar
nos pontos finais
e
.
Passo 6
Calculo os pontos finais usando a parametrização (estou pegando esses valores da parametrização dada no enunciado):
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Avalio
nesses dois pontos:
- Em
:
- Em
:
Passo 8
Portanto, pela relação do Passo 5,
Força aí — deu uma conta curta graças ao fato do integrando ser exatamente um gradiente!