(ESAL) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:
Altura:
Diâmetro do tronco:
Com
e
em metros e
em anos.
a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.
b) A altura de uma árvore é
. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.
Altura:
Diâmetro do tronco:
Com
a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.
b) A altura de uma árvore é
Passo 1
O enunciado fornece as funções (com
em anos,
e
em metros):
Pede:
a) as medidas aproximadas da altura (em metros) e do diâmetro do tronco (em centímetros) no instante em que as árvores são plantadas;
b) dado que a altura de uma árvore é , determinar o diâmetro aproximado do tronco em centímetros.
Informações importantes listadas: valores das funções, unidade das respostas desejadas (altura em metros, diâmetro em centímetros) e que “momento em que são plantadas” corresponde a .
a) as medidas aproximadas da altura (em metros) e do diâmetro do tronco (em centímetros) no instante em que as árvores são plantadas;
b) dado que a altura de uma árvore é
Informações importantes listadas: valores das funções, unidade das respostas desejadas (altura em metros, diâmetro em centímetros) e que “momento em que são plantadas” corresponde a
Passo 2
Entender como avaliar as funções em um instante
: para obter a altura ou o diâmetro num tempo
basta substituir
na fórmula dada e calcular. Vamos primeiro fazer isso em
. Começo pela altura:
Preciso usar a propriedade básica do logaritmo:
, porque
. Portanto:
Conclusão intermediária: a altura quando plantadas é
.
Passo 3
Agora o diâmetro no instante
. Substituo:
Calculo o expoente:
e
. Logo
Como a pergunta pede o diâmetro em centímetros, converto metros para centímetros lembrando que
. Assim:
Conclusão intermediária: diâmetro ao plantar =
.
Passo 4
Parte (b): dado
, encontro o tempo
correspondente resolvendo a equação
Isolo o logaritmo: subtraio 1 de ambos os lados
Divido por
para obter o valor do logaritmo:
Aqui uso a definição do logaritmo:
significa
. Então
portanto
Pequena explicação didática: resolver uma equação com
normalmente envolve isolar o
e depois “desfazer” o log transformando em potência de base
, como fizemos.
Passo 5
Com
calculo o diâmetro usando a fórmula dada:
Converto para centímetros:
Passo 6
Resumo rápido de conceitos usados (dica para prova):
- Para avaliar funções exponenciais e logarítmicas, substitua
e aplique as propriedades básicas: , . - Para resolver
use . - Sempre faça a conversão de unidades ao final (m → cm multiplicando por
).
Vai dar certo — lembra de escrever os passos limpos na prova: isolar, aplicar definição, converter unidades.
Resposta
a) Altura:
; Diâmetro:
b) Diâmetro:
b) Diâmetro: