(ESAL) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:
Altura: H(t)=1+(0,8) \cdot \log _{2}(t+1)
Diâmetro do tronco: D(t)=(0,1) \cdot 2^{\frac{t}{7}}
Com H(t) e D(t) em metros e t em anos.
a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.
b) A altura de uma árvore é 3,4 \mathrm{~m}. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.

Passo 1

O enunciado fornece as funções (com t em anos, H(t) e D(t) em metros):
H(t)=1+(0,8)\cdot\log_{2}(t+1)
D(t)=(0,1)\cdot 2^{\frac{t}{7}}
Pede:
a) as medidas aproximadas da altura (em metros) e do diâmetro do tronco (em centímetros) no instante em que as árvores são plantadas;
b) dado que a altura de uma árvore é 3,4\\ \mathrm{m}, determinar o diâmetro aproximado do tronco em centímetros.
Informações importantes listadas: valores das funções, unidade das respostas desejadas (altura em metros, diâmetro em centímetros) e que “momento em que são plantadas” corresponde a t=0.

Passo 2

Entender como avaliar as funções em um instante t: para obter a altura ou o diâmetro num tempo t basta substituir t na fórmula dada e calcular. Vamos primeiro fazer isso em t=0. Começo pela altura:
H(0)=1+(0,8)\cdot\log_{2}(0+1).
Preciso usar a propriedade básica do logaritmo: \log_{2}(1)=0, porque 2^{0}=1. Portanto:
H(0)=1+(0,8)\cdot 0 = 1.
Conclusão intermediária: a altura quando plantadas é \,1\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora o diâmetro no instante t=0. Substituo:
D(0)=(0,1)\cdot 2^{\frac{0}{7}}.
Calculo o expoente: \frac{0}{7}=0 e 2^{0}=1. Logo
D(0)=(0,1)\cdot 1 = 0,1\\ \mathrm{m}.
Como a pergunta pede o diâmetro em centímetros, converto metros para centímetros lembrando que 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}. Assim:
0,1\\ \mathrm{m}=0,1\cdot 100\\ \mathrm{cm}=10\\ \mathrm{cm}.
Conclusão intermediária: diâmetro ao plantar = 10\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Parte (b): dado H(t)=3,4\\ \mathrm{m}, encontro o tempo t correspondente resolvendo a equação
1+(0,8)\cdot\log_{2}(t+1)=3,4.
Isolo o logaritmo: subtraio 1 de ambos os lados
(0,8)\cdot\log_{2}(t+1)=3,4-1=2,4.
Divido por 0,8 para obter o valor do logaritmo:
\log_{2}(t+1)=\frac{2,4}{0,8}=3.
Aqui uso a definição do logaritmo: \log_{2}(x)=y significa x=2^{y}. Então
t+1=2^{3}=8,
portanto
t=8-1=7\\ \text{anos}.
Pequena explicação didática: resolver uma equação com \log_{2} normalmente envolve isolar o \log_{2} e depois “desfazer” o log transformando em potência de base 2, como fizemos.

Passo 5

Com t=7 calculo o diâmetro usando a fórmula dada:
D(7)=(0,1)\cdot 2^{\frac{7}{7}}=(0,1)\cdot 2^{1}=(0,1)\cdot 2=0,2\\ \mathrm{m}.
Converto para centímetros:
0,2\\ \mathrm{m}=0,2\cdot 100\\ \mathrm{cm}=20\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Resumo rápido de conceitos usados (dica para prova):
  • Para avaliar funções exponenciais e logarítmicas, substitua t e aplique as propriedades básicas: 2^{0}=1, \log_{2}(1)=0.
  • Para resolver \log_{2}(t+1)=a use t+1=2^{a}.
  • Sempre faça a conversão de unidades ao final (m → cm multiplicando por 100).
    Vai dar certo — lembra de escrever os passos limpos na prova: isolar, aplicar definição, converter unidades.

Resposta

a) Altura: 1\\ \mathrm{m}; Diâmetro: 10\\ \mathrm{cm}
b) Diâmetro: 20\\ \mathrm{cm}

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