(Enem - 2017) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$
. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação
é calculado em função do número de prestações
segundo a fórmula
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para
como aproximação para
como aproximação para
. De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é
a) 12 .
b) 14 .
c) 15 .
d) 16 .
e) 17 .
a) 12 .
b) 14 .
c) 15 .
d) 16 .
e) 17 .
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do valor da prestação
em função do número de prestações
:
Pede-se o menor número de parcelas
tal que a prestação não ultrapasse o limite de R$
, isto é, queremos o menor
inteiro positivo que satisfaz
O enunciado também fornece aproximações de logaritmos que podemos usar:
Anotei todas as informações relevantes: a fórmula de
, o limite
e as aproximações de logaritmos fornecidas.
Passo 2
Primeiro simplifico a fórmula multiplicando
por
:
Então podemos escrever
Para ficar mais claro, faço a substituição
com
(pois
e
). Assim
Passo 3
Agora impomos a desigualdade
. Substituindo a expressão de
,
Como
, podemos dividir e manipular sem mudar o sinal da desigualdade. Dividindo ambos os lados por
,
Faço a simplificação da fração do lado direito:
Passo 4
Resolvo a desigualdade racional:
Multiplicando ambos os lados por
,
Desenvolvendo o lado direito:
Levo os termos com
para um lado:
Calculo a diferença:
Logo
Multiplicando por
para simplificar:
ou seja
Passo 5
Voltando à variável
, lembramos que
. Assim a condição é
Para resolver expoentes, tomo logaritmo (base
) dos dois lados:
Como
é positivo, isso preserva a desigualdade. Portanto
Passo 6
Agora uso as aproximações de log dadas no enunciado para calcular o numerador.
Observação útil: note que
Observação útil: note que
Portanto
Usando as aproximações fornecidas no enunciado:
temos
Passo 7
Usando
(dado), obtemos
Como
representa número de prestações (tem que ser inteiro positivo), o menor
que satisfaz a desigualdade é o próximo inteiro acima de
, ou seja
.
Resposta
d)