(Enem - 2017) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5.000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula
P=\frac{5000 \times(1,013)^{n} \times 0,013}{\left(1,013^{n}-1\right)}
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para \log 1,013 ; 2,602 como aproximação para \log 400 ; 2,525 como aproximação para \log 335. De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é
a) 12 .
b) 14 .
c) 15 .
d) 16 .
e) 17 .

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do valor da prestação P em função do número de prestações n:
P=\frac{5000\times(1,013)^{n}\times0,013}{\left(1,013^{n}-1\right)}.
Pede-se o menor número de parcelas n tal que a prestação não ultrapasse o limite de R$ 400{,}00, isto é, queremos o menor n inteiro positivo que satisfaz
P\le 400.
O enunciado também fornece aproximações de logaritmos que podemos usar:
\log 1{,}013 \approx 0{,}005,\quad \log 400 \approx 2{,}602,\quad \log 335 \approx 2{,}525.
Anotei todas as informações relevantes: a fórmula de P, o limite 400 e as aproximações de logaritmos fornecidas.

Passo 2

Primeiro simplifico a fórmula multiplicando 5000 por 0,013:
5000\times0,013=65.
Então podemos escrever
P=65\cdot\frac{(1,013)^{n}}{(1,013)^{n}-1}.
Para ficar mais claro, faço a substituição
x=(1,013)^{n},
com x>1 (pois 1{,}013>1 e n>0). Assim
P=65\cdot\frac{x}{x-1}.

Passo 3

Agora impomos a desigualdade P\le 400. Substituindo a expressão de P,
65\cdot\frac{x}{x-1}\le 400.
Como x-1>0, podemos dividir e manipular sem mudar o sinal da desigualdade. Dividindo ambos os lados por 65,
\frac{x}{x-1}\le \frac{400}{65}.
Faço a simplificação da fração do lado direito:
\frac{400}{65}=\frac{80}{13}.

Passo 4

Resolvo a desigualdade racional:
\frac{x}{x-1}\le \frac{80}{13}.
Multiplicando ambos os lados por x-1>0,
x \le \frac{80}{13}(x-1).
Desenvolvendo o lado direito:
x \le \frac{80}{13}x - \frac{80}{13}.
Levo os termos com x para um lado:
0 \le \left(\frac{80}{13}-1\right)x - \frac{80}{13}.
Calculo a diferença:
\frac{80}{13}-1=\frac{80-13}{13}=\frac{67}{13}.
Logo
0 \le \frac{67}{13}x - \frac{80}{13}.
Multiplicando por 13 para simplificar:
0 \le 67x - 80,
ou seja
67x \ge 80 \quad\Longrightarrow\quad x \ge \frac{80}{67}.

Passo 5

Voltando à variável n, lembramos que x=(1,013)^{n}. Assim a condição é
(1,013)^{n} \ge \frac{80}{67}.
Para resolver expoentes, tomo logaritmo (base 10) dos dois lados:
n\log(1,013) \ge \log\!\left(\frac{80}{67}\right).
Como \log(1,013) é positivo, isso preserva a desigualdade. Portanto
n \ge \frac{\log\!\left(\dfrac{80}{67}\right)}{\log(1,013)}.

Passo 6

Agora uso as aproximações de log dadas no enunciado para calcular o numerador.
Observação útil: note que
\frac{80}{67}=\frac{400}{335}.
Portanto
\log\!\left(\frac{80}{67}\right)=\log 400 - \log 335.
Usando as aproximações fornecidas no enunciado:
\log 400 \approx 2{,}602,\qquad \log 335 \approx 2{,}525,
temos
\log\!\left(\frac{80}{67}\right)\approx 2{,}602-2{,}525=0{,}077.

Passo 7

Usando \log(1{,}013)\approx 0{,}005 (dado), obtemos
n \ge \frac{0{,}077}{0{,}005}=15{,}4.
Como n representa número de prestações (tem que ser inteiro positivo), o menor n que satisfaz a desigualdade é o próximo inteiro acima de 15{,}4, ou seja n=16.

Resposta

d) 16

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