1. Calcule \int_{C} \nabla f \cdot \mathbf{t} d l, onde f(x, y)=y \ln x+e^{y}+\frac{x^{2}}{2} e C é a ciclóide parametrizada por \mathbf{r}(t)=(t-\operatorname{sen}(t), 1-\cos (t)), t \in[\pi, 2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha
\int_{C} \nabla f\cdot \mathbf t\,dl
onde f(x,y)=y\ln x + e^y + \tfrac{x^2}{2} e C é a curva paramétrica \mathbf r(t)=(t-\sin t,\;1-\cos t), t\in[\pi,2\pi].
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: como \nabla f é gradiente de f, temos
\int_{C}\nabla f\cdot d\mathbf r = f\bigl(\mathbf r(2\pi)\bigr)-f\bigl(\mathbf r(\pi)\bigr).

Passo 2

Determinar os pontos finais da curva: \mathbf r(2\pi)=(2\pi-\sin(2\pi),\,1-\cos(2\pi))=(2\pi,0) \mathbf r(\pi)=(\pi-\sin\pi,\,1-\cos\pi)=(\pi,2)

Passo 3

Avaliar f nesses pontos. Primeiro em (2\pi,0):
f(2\pi,0)=0\cdot\ln(2\pi)+e^0+\frac{(2\pi)^2}{2} =1+\frac{4\pi^2}{2}=1+2\pi^2.

Passo 4

Agora em (\pi,2):
f(\pi,2)=2\ln\pi + e^2 + \frac{\pi^2}{2}.

Passo 5

Pela linha de argumentação do Passo 1,
\int_{C}\nabla f\cdot \mathbf t\,dl = f(2\pi,0)-f(\pi,2) =\bigl(1+2\pi^2\bigr)-\Bigl(2\ln\pi + e^2 + \tfrac{\pi^2}{2}\Bigr).
Simplificando os termos em \pi^2:
2\pi^2 - \tfrac{\pi^2}{2} = \tfrac{4\pi^2-\pi^2}{2} = \tfrac{3\pi^2}{2},
ficando

Resposta

\int_{C}\nabla f\cdot \mathbf t\,dl =1 + \frac{3\pi^2}{2} - e^2 - 2\ln\pi.

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