Parametrize C e depois calcule o trabalho realizado por \mathbf{F} ao longo de C.
\mathbf{F}(x, y)=x^{2} \mathbf{j} e C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=1, x \geq 0\right\}, orientada do ponto (0,-1) para o ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
da força \mathbf{F}(x,y)=x^{2}\,\mathbf{j} ao longo do semi-círculo
C:\;x^{2}+y^{2}=1,\;x\ge0
orientado de (0,-1) até (0,1). Vamos usar parametrização de semicírculo e depois calcular a integral de linha.

Passo 2

Parametrizamos C por
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\;\sin t),\quad t\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr],
que vai de (0,-1) em t=-\tfrac{\pi}{2} até (0,1) em t=\tfrac{\pi}{2}. Derivando,
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\;\cos t).

Passo 3

Em \mathbf{r}(t) a força fica \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(0,\cos^{2}t).
O elemento de arco é d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt, logo o produto interno
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =0\cdot(-\sin t)+\cos^{2}t\cdot\cos t =\cos^{3}t.
Assim
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}t\,dt.

Passo 4

Como \cos^{3}t é função par,
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}t\,dt =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}t\,dt.
Fazendo u=\sin t, du=\cos t\,dt,
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}t\,dt =\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du =\Bigl(u-\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr)\Big|_{0}^{1} =1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
Portanto
W=2\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{3}.

Resposta

O trabalho realizado é \displaystyle \tfrac{4}{3}.

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