1. Calcule
\int_{C} 2 x e^{x^{2}} \sin (y) d x+e^{x^{2}} \cos (y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}2x e^{x^{2}}\sin(y)\,dx + e^{x^{2}}\cos(y)\,dy
sendo C um caminho fechado em \mathbb{R}^{2}. O conteúdo é integral de linha de forma diferencial e vamos verificar se ela é exata (isto garante que o integral sobre curva fechada seja zero).

Passo 2

Denotemos
P(x,y)=2x e^{x^{2}}\sin(y), \quad Q(x,y)=e^{x^{2}}\cos(y).
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial P}{\partial y} =2x e^{x^{2}}\cos(y), \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =2x e^{x^{2}}\cos(y).
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^{2}, a forma é exata.

Passo 3

Buscamos uma potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} =P(x,y).
Integrando em x:
\varphi(x,y) =\int 2x e^{x^{2}}\sin(y)\,dx =e^{x^{2}}\sin(y)+h(y),
onde h(y) é função a determinar. Derivando em y e igualando a Q:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =e^{x^{2}}\cos(y)+h'(y) \overset!=e^{x^{2}}\cos(y) \;\Longrightarrow\;h'(y)=0,
logo h é constante.

Passo 4

Pela independência de caminho (domínio simplesmente conectado) e por C ser fechado, vale o teorema fundamental das integrais de linha em formas exatas:
\oint_{C}d\varphi =0.

Resposta

0

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