- Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sendo
um caminho fechado em
. O conteúdo é integral de linha de forma diferencial e vamos verificar se ela é exata (isto garante que o integral sobre curva fechada seja zero).
Passo 2
Denotemos
Calculamos as derivadas parciais
Como
em todo
, a forma é exata.
Passo 3
Buscamos uma potencial
tal que
Integrando em
:
onde
é função a determinar. Derivando em
e igualando a
:
logo
é constante.
Passo 4
Pela independência de caminho (domínio simplesmente conectado) e por
ser fechado, vale o teorema fundamental das integrais de linha em formas exatas: