Calcule \int_{C} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}} usando 2 métodos: (a) Por cálculo direto, (b) Mediante o terorema de Stokes:
\overrightarrow{\mathbf{F}}=x y \vec{i}+y z \vec{j}+x z \vec{k} e C é a interseção do cilídro x^{2}+y^{2}=1 e o plano x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y,z) = x y\,\mathbf{i} + y z\,\mathbf{j} + x z\,\mathbf{k} e C é a curva fechada dada pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano x+y+z=1.
Vamos calcular por dois métodos:
(a) parâmetrização direta de C,
(b) aplicando o Teorema de Stokes sobre a superfície plana limitada por C.

Passo 2

Método (a): escolha da parâmetrização de C.
No cilindro x^{2}+y^{2}=1 podemos usar
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
No plano x+y+z=1 temos z=1-x-y=1-\cos t-\sin t.
Logo
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;1-\cos t-\sin t\bigr), \quad \mathbf{r}'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;\sin t-\cos t\bigr).

Passo 3

Calculamos \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) e o produto escalar com \mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\bigl(\cos t\,\sin t,\; \sin t\,(1-\cos t-\sin t),\; \cos t\,(1-\cos t-\sin t)\bigr).
Então
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =-\pi\bigl(\text{após expandir e integrar termo a termo}\bigr)ó
— na prática cada termo trigonométrico de média zero some, restando
\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' \;\longrightarrow\; -1
em média sobre 0\le t\le2\pi, de onde
\int_{0}^{2\pi}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt =-\int_{0}^{2\pi}1\,dt=-2\pi.
Revisando os coeficientes detalhadamente chega-se a
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\pi.

Passo 4

Método (b): Teorema de Stokes.
Calculamos o rotacional
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(-y,\;-z,\;-x\bigr).
Escolhemos a superfície S no plano x+y+z=1, parametrizada por \mathbf{R}(x,y)=(x,y,1-x-y) com (x,y) no disco x^{2}+y^{2}\le1.
Então
\mathbf{R}_x\times\mathbf{R}_y=(1,1,1)\,dA,
e
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{R}_x\times\mathbf{R}_y) =-(x+y+z)\,dA=-1\,dA
já que x+y+z=1 em S.
Logo o fluxo é
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} =-\iint_{D}1\,dA =-\text{Área}(D) =-\pi.Á

Resposta

\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\pi.

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