Calcule
usando 2 métodos: (a) Por cálculo direto, (b) Mediante o terorema de Stokes:
e
é a interseção do cilídro
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede o integral de linha
onde
e
é a curva fechada dada pela interseção do cilindro
com o plano
.
Vamos calcular por dois métodos:
(a) parâmetrização direta de ,
(b) aplicando o Teorema de Stokes sobre a superfície plana limitada por .
Vamos calcular por dois métodos:
(a) parâmetrização direta de
(b) aplicando o Teorema de Stokes sobre a superfície plana limitada por
Passo 2
Método (a): escolha da parâmetrização de
.
No cilindro podemos usar
No cilindro
No plano
temos
.
Logo
Logo
Passo 3
Calculamos
e o produto escalar com
:
Então
— na prática cada termo trigonométrico de média zero some, restando
em média sobre
, de onde
Revisando os coeficientes detalhadamente chega-se a
Passo 4
Método (b): Teorema de Stokes.
Calculamos o rotacional
Calculamos o rotacional
Escolhemos a superfície
no plano
, parametrizada por
com
no disco
.
Então
Então
e
já que
em
.
Logo o fluxo é
Logo o fluxo é