Atraçâo gravitacional de uma concha esferica fina. Suponha que uma concha esférica de raio a e centrada na origem tem densidade de massa uniforme \mu. Uma particula de massa m está localizada a uma distaância d do centro da esféra.
Mostre que se d>a a forç de atraçāo gravitacional exercida pela concha sobre a partículo é
F=\frac{G M m}{d^{2}}, \text { se } d>a \text { e } F=0 \text { se } d<a
Onde M é a massa total da concha e G é a constante universal de gravitação .
Conclusāo: Sob a ação da Lei de gravitação de Newton, uma concha esféra atrai uma particula localizada no exterior como se a massa estivesse concentrada no centro da concha.
Na realidade este fato vale também para uma esféra sólida se a densidade depende apenas da distância ao centro.

Passo 1

O enunciado trata da atração gravitacional de uma casca esférica fina de raio a, massa total M e densidade superficial uniforme
\mu=\frac{M}{4\pi a^{2}}.
Uma partícula de massa m está a uma distância d do centro da casca. Queremos mostrar que
F=\frac{G\,M\,m}{d^{2}}\quad\text{se }d>a \quad\text{e}\quad F=0\quad\text{se }d<a.

Passo 2

Definimos o campo gravitacional \vec g(\vec r) como a força por unidade de massa:
\vec F = m\,\vec g(\vec r).
Sob as hipóteses de gravitação newtoniana e no regime estático, esse campo satisfaz a lei de Gauss para a gravidade:
\oint_{S_r}\vec g\cdot d\vec S \;=\;-4\pi G\,M_{\mathrm{int}}(r),
onde M_{\mathrm{int}}(r) é a massa contida dentro de uma esfera de raio r.

Passo 3

Pela simetria esférica, \vec g é radial e depende só de r:
\vec g(\vec r)=g(r)\,\hat r, \quad d\vec S = r^{2}\,d\Omega\,\hat r,
logo o fluxo numa esfera de raio r é
\oint_{S_r}\vec g\cdot d\vec S = g(r)\,\underbrace{\oint_{S_r}dS}_{4\pi r^{2}} =4\pi r^{2}\,g(r).

Passo 4

Substituindo na lei de Gauss:
4\pi r^{2}\,g(r) = -4\pi G\,M_{\mathrm{int}}(r) \quad\Longrightarrow\quad g(r)=-G\,\frac{M_{\mathrm{int}}(r)}{r^{2}}.

Passo 5

Determinar M_{\mathrm{int}}(r):
– se r<a, nenhuma massa da casca está dentro, logo M_{\mathrm{int}}(r)=0;
– se r>a, toda a massa M da casca está dentro, logo M_{\mathrm{int}}(r)=M.

Passo 6

Aplicando para r=d:
para d<a:
g(d)=0 \quad\Longrightarrow\quad F=m\,g(d)=0.
para d>a:
g(d)=-G\,\frac{M}{d^{2}} \quad\Longrightarrow\quad F=m\,\bigl|g(d)\bigr| =\frac{G\,M\,m}{d^{2}},
sempre direcionada radialmente para o centro.

Resposta

F=\frac{G\,M\,m}{d^{2}}\quad\text{se }d>a, \qquad F=0\quad\text{se }d<a.

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