Encontrar o fluxo do campo overrightarrow{\mathbf{F}}=\vec{i}-\vec{j}+x y z \vec{k} através do disco delimitado pela esféra x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq a^{2} e o plano y=x. Considerar a face tornada no sentido dos x positivos.

Passo 1

Resumindo: precisamos achar o fluxo do campo
\overrightarrow{F}(x,y,z)=\vec i-\vec j+xyz\,\vec k
através do disco que é a interseção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2} com o plano y=x. A face deve ter normal com componente x positiva. Vamos usar parametrização do disco no próprio plano.

Passo 2

Escolhemos coordenadas (u,v) em que
x=u,\quad y=u,\quad z=v,
de modo que o disco em (u,v) é
D=\{(u,v)\mid 2u^{2}+v^{2}\le a^{2}\}.
Definimos
\vec r(u,v)=(u,u,v).

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e o “pseudo-normal”:
\vec r_{u}=(1,1,0),\quad \vec r_{v}=(0,0,1),
\vec r_{u}\times\vec r_{v}=(1,-1,0).
Esse vetor tem componente x=1>0, logo está orientado corretamente.

Passo 4

No ponto \vec r(u,v) o campo vale
\overrightarrow{F}(\vec r(u,v))=(1,\,-1,\;u^{2}v).
O produto escalar com \vec r_{u}\times\vec r_{v} é
\overrightarrow{F}\cdot(\vec r_{u}\times\vec r_{v}) =1\cdot1+(-1)\cdot(-1)+(u^{2}v)\cdot0 =2.

Passo 5

O fluxo é
\iint_{S}\overrightarrow{F}\cdot d\vec S =\iint_{D}2\;du\,dv =2\iint_{D}du\,dv.
Como D é a elipse 2u^{2}+v^{2}\le a^{2}, seus semieixos são a/\sqrt2 e a, então
\mathrm{Area}(D)=\pi\frac{a}{\sqrt2}\,a=\frac{\pi a^{2}}{\sqrt2}.

Passo 6

Assim o fluxo vale
2\cdot\frac{\pi a^{2}}{\sqrt2} =\sqrt2\,\pi a^{2}.

Resposta

\sqrt2\,\pi a^{2}

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