Calcule
para:
, sendo
a curva dada por
,
para
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a campo vetorial é dado por
e a curva
é dada pela parametrização
Informações relevantes dadas:
- A função vetorial
com as três componentes explicitadas. - A parametrização
. - O intervalo do parâmetro é
.
A pergunta é: calcular o valor numérico da integral de linha.
Passo 2
Regra que vamos usar (aula rápida):
Para uma curva parametrizada por com
e um campo vetorial
, a integral de linha do tipo trabalho é
Para uma curva parametrizada por
Aqui:
-
é a posição ao longo da curva em função de . -
é a derivada componente a componente: representa o vetor tangente (velocidade). -
é o campo avaliado nas coordenadas da curva. - O produto escalar
combina as componentes: se e então .
Isso reduz a integral de linha a uma integral ordinária em.
Passo 3
Escrevemos a parametrização vetorial e calculamos a derivada:
Derivando componente a componente:
Explicação: derivada de
é
, de
é
e de
é
.
Passo 4
Avaliamo o campo
ao longo da curva, isto é, substituímos
em
:
Observação: aqui peguei essas expressões diretamente da parametrização dada.
Passo 5
Agora fazemos o produto escalar
:
Calculando termo a termo:
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
. Portanto
Comentário amigável: deu uma simplificação ótima — as partes trigonométricas somaram para
, sobrando uma expressão fácil de integrar.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 transformando a integral de linha numa integral em
:
Integramos termo a termo. Uma primitiva de
é
. Uma primitiva de
é
(porque derivando
obtemos
). Então uma primitiva da soma é
Passo 7
Avaliação da primitiva nos limites
e
:
Portanto a integral vale
.