Calcule \int_{c} \vec{f} d \vec{r} para:
\vec{f}(x, y, z)=(y,-x, z), sendo C a curva dada por x=\operatorname{sen}(t), y=\cos (t), z=2 t para 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{f}\cdot d\vec{r}
onde a campo vetorial é dado por \vec{f}(x,y,z) = (y,-x,z) e a curva C é dada pela parametrização
x=\operatorname{sen}(t),\quad y=\cos(t),\quad z=2t,\qquad 0\le t\le \pi.
Informações relevantes dadas:
  • A função vetorial \vec{f} com as três componentes explicitadas.
  • A parametrização \vec{r}(t) = (\operatorname{sen}(t),\cos(t),2t).
  • O intervalo do parâmetro é t\in[0,\pi].
    A pergunta é: calcular o valor numérico da integral de linha \int_C \vec{f}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Regra que vamos usar (aula rápida):
Para uma curva parametrizada por \vec{r}(t) com a\le t\le b e um campo vetorial \vec{f}(x,y,z), a integral de linha do tipo trabalho é
\int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{f}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui:
  • \vec{r}(t) é a posição ao longo da curva em função de t.
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada componente a componente: representa o vetor tangente (velocidade).
  • \vec{f}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado nas coordenadas da curva.
  • O produto escalar \cdot combina as componentes: se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) então \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
    Isso reduz a integral de linha a uma integral ordinária em t.

Passo 3

Escrevemos a parametrização vetorial e calculamos a derivada:
\vec{r}(t)=\big(\operatorname{sen}(t),\cos(t),2t\big).
Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\big(\cos(t), -\operatorname{sen}(t), 2\big).
Explicação: derivada de \operatorname{sen}(t) é \cos(t), de \cos(t) é -\operatorname{sen}(t) e de 2t é 2.

Passo 4

Avaliamo o campo \vec{f} ao longo da curva, isto é, substituímos x=\operatorname{sen}(t), y=\cos(t), z=2t em \vec{f}(x,y,z)=(y,-x,z):
\vec{f}(\vec{r}(t))=\big(\cos(t), -\operatorname{sen}(t), 2t\big).
Observação: aqui peguei essas expressões diretamente da parametrização dada.

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar \vec{f}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
\vec{f}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) = \cos(t)\cdot\cos(t) + \big(-\operatorname{sen}(t)\big)\cdot\big(-\operatorname{sen}(t)\big) + (2t)\cdot 2.
Calculando termo a termo:
\cos^2(t) + \operatorname{sen}^2(t) + 4t.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \cos^2(t)+\operatorname{sen}^2(t)=1. Portanto
\vec{f}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=1+4t.
Comentário amigável: deu uma simplificação ótima — as partes trigonométricas somaram para 1, sobrando uma expressão fácil de integrar.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 transformando a integral de linha numa integral em t:
\int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{\pi}\big(1+4t\big)\,dt.
Integramos termo a termo. Uma primitiva de 1 é t. Uma primitiva de 4t é 2t^2 (porque derivando 2t^2 obtemos 4t). Então uma primitiva da soma é
t+2t^2.

Passo 7

Avaliação da primitiva nos limites 0 e \pi:
\left[t+2t^2\right]_{0}^{\pi} = \big(\pi + 2\pi^2\big) - \big(0+0\big) = \pi + 2\pi^2.
Portanto a integral vale \pi+2\pi^2.

Resposta

\pi+2\pi^{2}

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