Determine o trabalho realizado por uma força constante \vec{f}(x, y)=a \vec{i}+b \vec{j} \quad que atua sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido anti-horário, o círculo descrito por x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o trabalho realizado por uma força constante \vec{f}(x,y)=a\vec{i}+b\vec{j} quando uma partícula percorre, uma vez no sentido anti-horário, o círculo dado por x^{2}+y^{2}=9.\n
Informações fornecidas:
  • A força é constante e tem componentes escalares a e b (constantes).
  • O caminho é o círculo de raio 3 (pois x^{2}+y^{2}=9) percorrido uma vez no sentido anti-horário.
  • A pergunta é: qual é o trabalho realizado por essa força ao longo desse caminho fechado?

Passo 2

Definição e formulação matemática do trabalho: o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva C é o integral de linha
W=\int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}.
Explicando cada parte: \vec{f} é a força, d\vec{r} é o diferencial do vetor posição (o pequeno deslocamento) e o produto escalar \vec{f}\cdot d\vec{r} dá a contribuição infinitesimal de trabalho. Para vetores em duas dimensões, se \vec{f}=(f_x,f_y) e d\vec{r}=(dx,dy), então
\vec{f}\cdot d\vec{r}=f_x\,dx+f_y\,dy.
No nosso caso \vec{f}=(a,b), logo
W=\int_{C} a\,dx + b\,dy.
Isto é, o integral se separa nas componentes do vetor força multiplicando os diferenciais das coordenadas.

Passo 3

Propriedade importante para forças constantes: como a e b são constantes, podemos escrever
W=a\oint_{C} dx + b\oint_{C} dy,
onde o símbolo \oint_{C} indica integral ao longo do caminho fechado C. Agora observe que \oint_{C} dx é simplesmente a integral do diferencial dx ao longo de um caminho fechado. Essa integral é igual à variação total de x entre o ponto final e o ponto inicial. Como o caminho é fechado, o ponto final coincide com o inicial, logo a variação total é zero. Formalmente,
\oint_{C} dx = 0,\qquad \oint_{C} dy = 0.
Portanto, já daqui se conclui que W=0. Vou agora mostrar também o cálculo direto por parametrização para fixar bem a ideia.

Passo 4

Parametrização explícita do círculo e cálculo direto: parametrize o círculo de raio 3 por
\vec{r}(t)=\bigl(3\cos t,\,3\sin t\bigr),\qquad t\in[0,2\pi],
que descreve o percurso anti-horário. Então
dx = -3\sin t\,dt,\qquad dy = 3\cos t\,dt.
Substituindo em W=\int_{C}a\,dx+b\,dy obtemos
W=\int_{0}^{2\pi}\bigl(a(-3\sin t)+b(3\cos t)\bigr)\,dt =3\left(-a\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt + b\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt\right).
Calculemos as integrais básicas:
\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt = \bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{2\pi} = -\cos(2\pi)+\cos(0)= -1+1=0,
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt = \bigl[\sin t\bigr]_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi)-\sin(0)=0-0=0.
Substituindo esses resultados no valor de W temos
W=3\bigl(-a\cdot 0 + b\cdot 0\bigr)=0.

Passo 5

Interpretação física e conclusão didática: para uma força constante a integral de linha depende apenas do deslocamento total (porque \int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}=\vec{f}\cdot\int_{C}d\vec{r}=\vec{f}\cdot\Delta\vec{r}). Num caminho fechado \Delta\vec{r}=\vec{0}, então o trabalho é zero. Outra forma (que mostramos) é ver que as integrais das funções seno e cosseno ao longo de um período inteiro são zero. Em qualquer um dos argumentos a conclusão é a mesma: o trabalho realizado é nulo.

Resposta

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