Determine o trabalho realizado por uma força constante
que atua sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido anti-horário, o círculo descrito por
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o trabalho realizado por uma força constante
quando uma partícula percorre, uma vez no sentido anti-horário, o círculo dado por
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A força é constante e tem componentes escalares
e (constantes). - O caminho é o círculo de raio
(pois ) percorrido uma vez no sentido anti-horário. - A pergunta é: qual é o trabalho realizado por essa força ao longo desse caminho fechado?
Passo 2
Definição e formulação matemática do trabalho: o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva
é o integral de linha
Explicando cada parte:
é a força,
é o diferencial do vetor posição (o pequeno deslocamento) e o produto escalar
dá a contribuição infinitesimal de trabalho. Para vetores em duas dimensões, se
e
, então
No nosso caso
, logo
Isto é, o integral se separa nas componentes do vetor força multiplicando os diferenciais das coordenadas.
Passo 3
Propriedade importante para forças constantes: como
e
são constantes, podemos escrever
onde o símbolo
indica integral ao longo do caminho fechado
. Agora observe que
é simplesmente a integral do diferencial
ao longo de um caminho fechado. Essa integral é igual à variação total de
entre o ponto final e o ponto inicial. Como o caminho é fechado, o ponto final coincide com o inicial, logo a variação total é zero. Formalmente,
Portanto, já daqui se conclui que
. Vou agora mostrar também o cálculo direto por parametrização para fixar bem a ideia.
Passo 4
Parametrização explícita do círculo e cálculo direto: parametrize o círculo de raio
por
que descreve o percurso anti-horário. Então
Substituindo em
obtemos
Calculemos as integrais básicas:
Substituindo esses resultados no valor de
temos
Passo 5
Interpretação física e conclusão didática: para uma força constante a integral de linha depende apenas do deslocamento total (porque
). Num caminho fechado
, então o trabalho é zero. Outra forma (que mostramos) é ver que as integrais das funções seno e cosseno ao longo de um período inteiro são zero. Em qualquer um dos argumentos a conclusão é a mesma: o trabalho realizado é nulo.