Usando a regra de Simpson, obtenha o valor da integral que segue, considerando 5 pontos. \int_{0,0}^{1,2} e^{x} \cos x d x.
(a) 1,6428
(b) 1,6484
(c) 1,6464
(d) 1,6446
(e) Năe sei

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a integral
\int_{0,0}^{1,2} e^{x}\cos x \, dx
usando a regra de Simpson com 5 pontos. Informações dadas e o que preciso extrair:
  • Intervalo de integração: [0,0,\,1,2].
  • Número de pontos: 5 (logo n=4 subintervalos, porque pontos =n+1).
  • Vou precisar calcular os valores de f(x)=e^{x}\cos x em 5 pontos igualmente espaçados e aplicar a fórmula composta de Simpson.

Passo 2

Apresento a fórmula composta da regra de Simpson (para n par). Se h é o tamanho do passo e f_i=f(x_i), então
S_{\text{Simpson}}=\frac{h}{3}\bigl(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+\cdots+4f_{n-1}+f_n\bigr).
Aqui usaremos n=4, portanto a fórmula específica fica
S_{\text{Simpson}}=\frac{h}{3}\bigl(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+f_4\bigr).
Explicando os símbolos:
  • h é o comprimento de cada subintervalo: h=\dfrac{b-a}{n}.
  • f_i é a função avaliada no ponto x_i=a+i h.
    Essa fórmula combina as avaliações em pontos com pesos 1,4,2,4,\dots,1 e dá uma boa aproximação quando a função é razoavelmente suave.

Passo 3

Calculo de h e dos pontos \,x_i:
h=\frac{1,2-0,0}{4}=0,3.
Os pontos são:
x_0=0,0,\quad x_1=0,3,\quad x_2=0,6,\quad x_3=0,9,\quad x_4=1,2.

Passo 4

Agora calculo f_i=f(x_i)=e^{x_i}\cos x_i para cada ponto. Vou mostrar as aproximações numéricas (valores de e^{x} e \cos x conhecidos/avaliados e o produto).
  1. x_0=0,0:
e^{0,0}=1,\quad \cos 0,0=1 \quad\Rightarrow\quad f_0=1\cdot 1=1.
  1. x_1=0,3:
e^{0,3}\approx 1,3498588076,\quad \cos 0,3\approx 0,9553364891,
f_1=e^{0,3}\cos 0,3\approx 1,3498588076\cdot 0,9553364891\approx 1,289567794.
  1. x_2=0,6:
e^{0,6}\approx 1,8221188004,\quad \cos 0,6\approx 0,8253356149,
f_2=e^{0,6}\cos 0,6\approx 1,8221188004\cdot 0,8253356149\approx 1,503858619.
  1. x_3=0,9:
e^{0,9}\approx 2,4596031112,\quad \cos 0,9\approx 0,6216099683,
f_3=e^{0,9}\cos 0,9\approx 2,4596031112\cdot 0,6216099683\approx 1,528867118.
  1. x_4=1,2:
e^{1,2}\approx 3,3201169227,\quad \cos 1,2\approx 0,3623577545,
f_4=e^{1,2}\cos 1,2\approx 3,3201169227\cdot 0,3623577545\approx 1,203071208.
(Obs.: os valores de e^{x} e \cos x acima são avaliações numéricas com precisão suficiente para a regra de Simpson; multipliquei para obter cada f_i.)

Passo 5

Aplico a fórmula de Simpson com h=0,3:
S_{\text{Simpson}}=\frac{0,3}{3}\bigl(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+f_4\bigr)=0,1\bigl(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+f_4\bigr).
Substituindo os f_i calculados:
\begin{aligned} f_0+4f_1+2f_2+4f_3+f_4 &=1+4(1,289567794)+2(1,503858619)+4(1,528867118)+1,203071208\\\ &=1+5,158271176+3,007717238+6,115468472+1,203071208\\\ &\approx 16,484527094. \end{aligned}
Multiplicando por 0,1:
S_{\text{Simpson}}\approx 0,1\cdot 16,484527094\approx 1,6484527094.

Passo 6

Interpretação final: a aproximação por Simpson com 5 pontos dá aproximadamente \,1,64845. Comparando com as alternativas fornecidas, a que mais se aproxima é (b)\,\,1,6484 (diferença muito pequena devido a arredondamentos intermediários).

Resposta

(b) 1,6484

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