1- Calcule \int_{C} x e^{30} d s, onde C è o segmento de reta que vai de A(0,0,0) até B(1,1,-1).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x e^{30}\, d s,
onde C é o segmento de reta que vai de A(0,0,0) até B(1,1,-1).
Informações fornecidas:
Os pontos extremos do segmento são A=(0,0,0) e B=(1,1,-1).
A função a integrar é x e^{30} multiplicada por d s (elemento de comprimento de arco).
Pedimos o valor numérico dessa integral de linha ao longo de C.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), t\in[a,b], a integral de uma função escalar f(x,y,z) em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f\, d s = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\, dt.
Aqui f(\mathbf{r}(t)) significa substituir x,y,z pelas componentes de \mathbf{r}(t), e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert é a norma (módulo) do vetor derivada, que dá a velocidade escalar da parametrização.
Passo 3
Parametrização do segmento C: como C é uma reta do ponto A=(0,0,0) até B=(1,1,-1), a parametrização linear mais simples é
\mathbf{r}(t) = (t,\,t,\,-t),\qquad t\in[0,1].
Verificação rápida: em t=0 temos \mathbf{r}(0)=(0,0,0)=A e em t=1 temos \mathbf{r}(1)=(1,1,-1)=B. Note que a componente x(t)=t.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integral de comprimento de arco: primeiro observamos que e^{30} é constante (não depende de x,y,z nem de t), então pode ser tirado fora da integral. Assim
\int_{C} x e^{30}\, d s = e^{30}\int_{C} x\, d s = e^{30}\int_{0}^{1} x(t)\,\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\, dt.