Questões sobre integrais triplas:
, sendo
o paralelepípedo dado por
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o paralelepípedo dado por
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função a integrar é
. - O domínio
é um paralelepípedo (caixa retangular) com intervalos separados para , e . - A integral tripla é sobre uma região de produto (intervalos independentes nas três direções).
Passo 2
Estratégia e ideias que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
- Linearidade da integral: a integral de soma é soma das integrais. Ou seja,
Explicação: a integral é um operador linear — podemos separar termos e integrar cada um separadamente. Isso facilita bastante porque cada termo depende só de uma variável.
- Propriedade de regiões retangulares (Fubini / separação): como
é um produto de intervalos, integrais de funções que são produto de funções de variáveis distintas podem ser separadas em produto de integrais unidimensionais. No nosso caso, por exemplo, pode ser escrito como
porque a parte
depende só de
e os integrais sobre
e
são apenas fatores de comprimento dos intervalos. Isso é uma consequência direta do teorema de Fubini e da independência dos limites.
- Antiderivadas simples: para integrar
usamos a antiderivada . Para integrar usamos . Para integrar uma constante (por exemplo ) usamos . Sempre avaliaremos as antiderivadas nos limites indicados, subtraindo o valor inferior do superior.
Agora vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular
.
Escrevemos por separação:
Calcule cada integral unidimensional:
Multiplicando os fatores:
Passo 4
Calcular
.
Novamente separamos:
Calcule cada integral:
Multiplicando:
Passo 5
Calcular
.
Pelo mesmo raciocínio:
Já sabemos
e
. Agora:
Multiplicando:
Passo 6
Somar as três contribuições (pela linearidade):
Checagem rápida (intuição): o volume de
é
. As médias das coordenadas no respectivo intervalo são
,
,
. A integral da soma é o volume vezes a soma das médias:
, confirma o resultado.