Questões sobre integrais triplas:
\iiint_{G}(x+y+z) d x d y d z, sendo G o paralelepípedo dado por
0 \leq x \leq 2 ; 1 \leq y \leq 2 e 1 \leq z \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{G} (x+y+z)\,dx\,dy\,dz,
onde G é o paralelepípedo dado por
0 \leq x \leq 2,\qquad 1 \leq y \leq 2,\qquad 1 \leq z \leq 2.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função a integrar é x+y+z.
  • O domínio G é um paralelepípedo (caixa retangular) com intervalos separados para x, y e z.
  • A integral tripla é sobre uma região de produto (intervalos independentes nas três direções).

Passo 2

Estratégia e ideias que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
  1. Linearidade da integral: a integral de soma é soma das integrais. Ou seja,
\iiint_{G} (x+y+z)\,dV = \iiint_{G} x\,dV + \iiint_{G} y\,dV + \iiint_{G} z\,dV.
Explicação: a integral é um operador linear — podemos separar termos e integrar cada um separadamente. Isso facilita bastante porque cada termo depende só de uma variável.
  1. Propriedade de regiões retangulares (Fubini / separação): como G é um produto de intervalos, integrais de funções que são produto de funções de variáveis distintas podem ser separadas em produto de integrais unidimensionais. No nosso caso, por exemplo, \iiint_G x\,dV pode ser escrito como
\left(\int_{0}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{1}^{2} dy\right)\left(\int_{1}^{2} dz\right),
porque a parte x depende só de x e os integrais sobre y e z são apenas fatores de comprimento dos intervalos. Isso é uma consequência direta do teorema de Fubini e da independência dos limites.
  1. Antiderivadas simples: para integrar x usamos a antiderivada \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2}. Para integrar y usamos \int y\,dy = \tfrac{y^{2}}{2}. Para integrar uma constante 1 (por exemplo \int_{1}^{2} dy) usamos \int 1\,dy = y. Sempre avaliaremos as antiderivadas nos limites indicados, subtraindo o valor inferior do superior.
Agora vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular \displaystyle \iiint_{G} x\,dV.
Escrevemos por separação:
\iiint_{G} x\,dV = \left(\int_{0}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{1}^{2} dy\right)\left(\int_{1}^{2} dz\right).
Calcule cada integral unidimensional:
\int_{0}^{2} x\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \tfrac{2^{2}}{2}-0 = \tfrac{4}{2} = 2.
\int_{1}^{2} dy = \left[y\right]_{1}^{2} = 2-1 = 1.
\int_{1}^{2} dz = \left[z\right]_{1}^{2} = 2-1 = 1.
Multiplicando os fatores:
\iiint_{G} x\,dV = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2.

Passo 4

Calcular \displaystyle \iiint_{G} y\,dV.
Novamente separamos:
\iiint_{G} y\,dV = \left(\int_{0}^{2} dx\right)\left(\int_{1}^{2} y\,dy\right)\left(\int_{1}^{2} dz\right).
Calcule cada integral:
\int_{0}^{2} dx = \left[x\right]_{0}^{2} = 2-0 = 2.
\int_{1}^{2} y\,dy = \left[\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \tfrac{4}{2}-\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}.
\int_{1}^{2} dz = 1 \quad\text{(já calculado antes)}.á
Multiplicando:
\iiint_{G} y\,dV = 2 \cdot \tfrac{3}{2} \cdot 1 = 3.

Passo 5

Calcular \displaystyle \iiint_{G} z\,dV.
Pelo mesmo raciocínio:
\iiint_{G} z\,dV = \left(\int_{0}^{2} dx\right)\left(\int_{1}^{2} dy\right)\left(\int_{1}^{2} z\,dz\right).
Já sabemos \int_{0}^{2} dx = 2 e \int_{1}^{2} dy = 1. Agora:
\int_{1}^{2} z\,dz = \left[\tfrac{z^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \tfrac{4}{2}-\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}.
Multiplicando:
\iiint_{G} z\,dV = 2 \cdot 1 \cdot \tfrac{3}{2} = 3.

Passo 6

Somar as três contribuições (pela linearidade):
\iiint_{G} (x+y+z)\,dV = \iiint_{G} x\,dV + \iiint_{G} y\,dV + \iiint_{G} z\,dV = 2 + 3 + 3 = 8.
Checagem rápida (intuição): o volume de G é (2-0)\cdot(2-1)\cdot(2-1)=2. As médias das coordenadas no respectivo intervalo são \bar{x}=1, \bar{y}=1{,}5, \bar{z}=1{,}5. A integral da soma é o volume vezes a soma das médias: 2\cdot(1+1{,}5+1{,}5)=2\cdot4=8, confirma o resultado.

Resposta

8

Exercícios relacionados