Questões sobre integrais triplas:
\iiint_{G} x y z d x d y d z, sendo G o paralelepípedo dado por
0 \leq x \leq 2 ; 1 \leq y \leq 2 e 1 \leq z \leq 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{G} x y z \, dx\,dy\,dz,
onde o sólido G é o paralelepípedo definido por
0 \leq x \leq 2,\qquad 1 \leq y \leq 2,\qquad 1 \leq z \leq 3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é x y z.
  • O domínio G é o produto dos intervalos [0,2]\times[1,2]\times[1,3].
  • Precisamos encontrar o valor numérico da integral tripla acima.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): como o domínio G é um paralelepípedo (produto de intervalos) e a integranda é um produto de funções de variáveis separadas ( x, y, z), podemos usar a integração iterada (Teorema de Fubini). Isso permite calcular a integral tripla como uma integral iterada em qualquer ordem, tratando as variáveis não integradas como constantes no passo atual. Vou fazer a ordem dx, depois dy, depois dz.

Passo 3

Escrevo a integral iterada com os limites indicados:
\iiint_{G} x y z \, dx\,dy\,dz = \int_{z=1}^{3}\!\int_{y=1}^{2}\!\int_{x=0}^{2} x y z \, dx\,dy\,dz.
Aqui, no interior da integral em x, tanto y quanto z são constantes em relação a x.

Passo 4

Integro em x primeiro. Como y e z são constantes ao integrar em x, posso puxá‑los para fora da integral em x:
\int_{x=0}^{2} x y z \, dx = y z \int_{0}^{2} x \, dx.
Agora aplico a primitiva de x: uma primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Portanto
\int_{0}^{2} x \, dx = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}=\dfrac{4}{2}=\;2.
Então o resultado da integral interna é
\int_{x=0}^{2} x y z \, dx = y z \cdot 2.

Passo 5

Substituo o resultado da integração em x e prossigo integrando em y:
\int_{y=1}^{2} \big(2 y z\big) \, dy = 2 z \int_{1}^{2} y \, dy.
A primitiva de y é \dfrac{y^{2}}{2}. Assim
\int_{1}^{2} y \, dy = \left.\dfrac{y^{2}}{2}\right|_{1}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{1^{2}}{2}=\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.
Portanto a integral sobre y fica
\int_{y=1}^{2} 2 y z \, dy = 2 z \cdot \dfrac{3}{2} = 3 z.

Passo 6

Agora integro em z:
\int_{z=1}^{3} 3 z \, dz = 3 \int_{1}^{3} z \, dz.
A primitiva de z é \dfrac{z^{2}}{2}, então
\int_{1}^{3} z \, dz = \left.\dfrac{z^{2}}{2}\right|_{1}^{3} = \dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{8}{2}=4.
Portanto a última expressão que obtemos é
3 \cdot 4.

Passo 7

Checagem alternativa (é sempre bom verificar de outra forma): por separabilidade podemos também escrever
\iiint_{G} x y z \, dx\,dy\,dz = \left(\int_{0}^{2} x \, dx\right)\left(\int_{1}^{2} y \, dy\right)\left(\int_{1}^{3} z \, dz\right).
Calculando cada uma: \int_{0}^{2} x \, dx = 2, \int_{1}^{2} y \, dy = \dfrac{3}{2}, \int_{1}^{3} z \, dz = 4. Multiplicando-os obtemos a mesma combinação
2 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot 4 = 3 \cdot 4,
o que confirma a consistência dos cálculos.

Resposta

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