Calcule \int_{C}(3 x+2 y) d x+(3 x-y) d y de (0,0) a (1,1), ao longo
(a) do segmento de reta
(b) do arco de parábola y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} (3x+2y)\,dx + (3x-y)\,dy
entre os pontos (0,0) e (1,1) ao longo de duas curvas distintas:
(a) o segmento de reta que liga (0,0) a (1,1);
(b) o arco da parábola y=x^{2} que vai de (0,0) a (1,1).
Informações relevantes fornecidas:
P(x,y)=3x+2y,\qquad Q(x,y)=3x-y,
e os pontos inicial e final são (0,0) e (1,1). As curvas são (a) segmento de reta e (b) curva dada por y=x^{2}.

Passo 2

Antes de calcular, é útil verificar se o campo diferencial é conservativo (isto simplificaria muito o trabalho). Para isso comparamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3x+2y)=2,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x-y)=3.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=2\neq3=\frac{\partial Q}{\partial x}, a forma diferencial não é conservativa. Conclusão: o valor da integral depende do caminho, então precisamos calcular explicitamente para cada curva.

Passo 3

Explico o método geral (passo a passo prático):
  1. Parametrizamos a curva C por um parâmetro t num intervalo [a,b]: x=x(t),\;y=y(t).
  2. Calculamos dx=x'(t)\,dt e dy=y'(t)\,dt.
  3. Substituímos na integral para obter uma integral em t:
\int_{C} P\,dx+Q\,dy = \int_{a}^{b}\big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
  1. Calculamos a integral de função de uma variável usual.
Vou aplicar exatamente isso nas duas curvas.

Passo 4

Cálculo para (a) segmento de reta de (0,0) a (1,1).
Parametrização simples: tomar t\in[0,1] e
x(t)=t,\qquad y(t)=t.
Então
dx = x'(t)\,dt = 1\cdot dt = dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = 1\cdot dt = dt.

Passo 5

Substituindo na integral para o caso (a):
primeiro calcule P(x(t),y(t)) e Q(x(t),y(t)):
P(x(t),y(t))=3x+2y = 3t+2t=5t,
Q(x(t),y(t))=3x-y = 3t-t=2t.
Agora a integranda em t é
P\,dx+Q\,dy = (5t)\,dt + (2t)\,dt = (5t+2t)\,dt = 7t\,dt.
Portanto a integral é
\int_{C_{\text{reta}}} = \int_{0}^{1} 7t\,dt.

Passo 6

Calcule a integral em t:
\int_{0}^{1} 7t\,dt = 7\int_{0}^{1} t\,dt = 7\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 7\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{2}.
Portanto o valor para o segmento de reta é \frac{7}{2}.

Passo 7

Cálculo para (b) arco da parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1).
Parametrização natural: tomar t\in[0,1] e
x(t)=t,\qquad y(t)=t^{2}.
Então
dx = dt,\qquad dy = 2t\,dt.

Passo 8

Avalie P e Q ao longo da parametrização:
P(x(t),y(t))=3x+2y = 3t + 2t^{2},
Q(x(t),y(t))=3x-y = 3t - t^{2}.
Agora forme a integranda:
P\,dx + Q\,dy = (3t+2t^{2})\,dt + (3t - t^{2})(2t\,dt).
Calcule o segundo termo explicitamente:
(3t - t^{2})(2t) = 6t^{2} - 2t^{3}.
Somando os termos em dt:
(3t+2t^{2}) + (6t^{2}-2t^{3}) = 3t + 8t^{2} - 2t^{3}.
Logo a integral fica
\int_{C_{\text{parábola}}} = \int_{0}^{1} \big(3t + 8t^{2} - 2t^{3}\big)\,dt.á

Passo 9

Calcule a integral em t para (b):
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1} 3t\,dt = 3\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{3}{2},
\int_{0}^{1} 8t^{2}\,dt = 8\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{8}{3},
\int_{0}^{1} -2t^{3}\,dt = -2\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}.
Somando:
\frac{3}{2} + \frac{8}{3} - \frac{1}{2} = \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{8}{3} = 1 + \frac{8}{3} = \frac{11}{3}.
Portanto o valor para o arco da parábola é \frac{11}{3}.

Resposta

(a) \frac{7}{2}
(b) \frac{11}{3}

Exercícios relacionados