Calcule
de
a
, ao longo
(a) do segmento de reta
(b) do arco de parábola
(a) do segmento de reta
(b) do arco de parábola
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
entre os pontos
e
ao longo de duas curvas distintas:
(a) o segmento de reta que liga a
;
(b) o arco da parábola que vai de
a
.
(a) o segmento de reta que liga
(b) o arco da parábola
Informações relevantes fornecidas:
e os pontos inicial e final são
e
. As curvas são (a) segmento de reta e (b) curva dada por
.
Passo 2
Antes de calcular, é útil verificar se o campo diferencial é conservativo (isto simplificaria muito o trabalho). Para isso comparamos as derivadas parciais:
Como
, a forma diferencial não é conservativa. Conclusão: o valor da integral depende do caminho, então precisamos calcular explicitamente para cada curva.
Passo 3
Explico o método geral (passo a passo prático):
- Parametrizamos a curva
por um parâmetro num intervalo : . - Calculamos
e . - Substituímos na integral para obter uma integral em
:
- Calculamos a integral de função de uma variável usual.
Vou aplicar exatamente isso nas duas curvas.
Passo 4
Cálculo para (a) segmento de reta de
a
.
Parametrização simples: tomar
e
Então
Passo 5
Substituindo na integral para o caso (a):
primeiro calcule e
:
primeiro calcule
Agora a integranda em
é
Portanto a integral é
Passo 6
Calcule a integral em
:
Portanto o valor para o segmento de reta é
.
Passo 7
Cálculo para (b) arco da parábola
de
a
.
Parametrização natural: tomar
e
Então
Passo 8
Avalie
e
ao longo da parametrização:
Agora forme a integranda:
Calcule o segundo termo explicitamente:
Somando os termos em
:
Logo a integral fica
Passo 9
Calcule a integral em
para (b):
Integramos termo a termo:
Integramos termo a termo:
Somando:
Portanto o valor para o arco da parábola é
.
Resposta
(a)
(b)
(b)